Die Zustandsraumbeschreibung zeitdiskreter linearer und zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme) erfordert einige Übung im Umgang mit zeitdiskreten Signalen und ihren \(z\)-Transformierten. Diese Fertigkeiten werden in zahlreichen Lehrbüchern zur Systemtheorie vermittelt, u.a. in \cite{Girod_2005}. Das dort enthaltene Beispiel 14.3 zeigt, wie aus einem Blockdiagramm eines zeitdiskreten Systems 2. Ordnung mit gegebenen Anfangsbedingungen die zugehörige Impulsanwort berechnet wird. Folgende Schritte sind durchzuführen:
Aufstellen der Zustandsraumbeschreibung aus dem Blockdiagramm,
Berechnung der \(z\)-Transformierten des Ausgangssignals \(Y(z)\) aus den Matrizen der Zustandsraumbeschreibung,
Umformen der \(z\)-Transformierten des Ausgangssignals in eine zur Rücktransformation geeignete Form,
Berechnung der Impulsantwort durch Rücktransformation anhand bekannter Korrespondenzen der \(z\)-Transformation.
Von Interesse ist hier der 3. Schritt, in dem von vielen möglichen Darstellungen der \(z\)-Transformierten \(Y(z)\) diejenige gefunden wird, die die Äbhängigkeit von der komplexen Frequenzvariablen \(z\) in einfacher Form erhält. Dies bedeutet, dass die \(z\)-Transformierte \(Y(z)\) so zerlegt wird, dass die einzelnen Komponenten direkt den Einträgen in den bekannten Korrespondenztabellen entsprechen. Ein wichtiges Hilfsmittel dazu ist die Partialbruchzerlegung.
Die folgenden Abschnitte zeigen dieses Vorgehen anhand von Gleichung (14.32) in \cite{Girod_2005}. Die dort angegebene \(z\)-Transformierte lautet \[Y(z) = \frac{\frac14}{z^2-\frac14} \; \left( y[0]+ z y[1] \right) \; , \label{eq:1}\] woraus man durch Ausmultiplizieren folgende Darstellung erhält \[Y(z) = \frac14\, y[0]\frac{1}{z^2-\frac14} + y[1] \frac{z}{z^2-\frac14} \; . \label{eq:2}\] Davon ausgehend, kann die Zerlegung in Partialbrüche verschiedene Formen annehmen.
Die beiden von \(z\) abhängigen Terme in \eqref{eq:2} haben die folgenden Partialbruchzerlegungen \[\begin{aligned} \frac{1}{z^2-\frac14} &= \frac{1}{(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac{1}{z-\frac12} - \frac{1}{z+\frac12} \;, \\ \frac{z}{z^2-\frac14} &= \frac{z}{(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac12\frac{1}{z-\frac12} + \frac12\frac{1}{z+\frac12} \; .\end{aligned}\] Damit lautet \(Y(z)\) \[\begin{aligned} Y(z) = \frac14\, y[0]\left( \frac{1}{z-\frac12} - \frac{1}{z+\frac12}\right) + y[1] \left( \frac12\frac{1}{z-\frac12} + \frac12\frac{1}{z+\frac12}\right) %\label{eq:2}\end{aligned}\] und nach gleichen Partialbrüchen zusammengefasst \[\begin{aligned} Y(z) = \frac14\, \frac{1}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) - \frac14\, \frac{1}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right).\end{aligned}\] Durch Erweitern der Partialbrüche folgt schließlich das in \cite[Beispiel 14.3]{Girod_2005} angegebene Resultat \[\begin{aligned} Y(z) = \frac14\,z^{-1} \left( \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) - \frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).\end{aligned}\] Es enthält zwei Terme der Form \[\begin{aligned} \frac{z}{z-z_0} \qquad\text{mit}\quad z_0 = \pm\frac12\end{aligned}\] die jeweils eine Exponentialfolge im Zeitbereich repräsentieren und einen Verzögerungsoperator \(z^{-1}\). Eine Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich durch Anwendung einer Korrespondenz für Exponentialfolgen und des Verzögerungssatzes ist damit einfach möglich.
In manchen Fällen ist es von Vorteil, die Partialbruchzerlegung anstelle auf \(Y(z)\) auf die verzögerte Fassung \(z^{-1}Y(z)\) anzuwenden. Eine Partialbruchzerlegung \[\begin{aligned} z^{-1}Y(z) = \sum\limits_{n=1}^N \frac{1}{z-z_n}\end{aligned}\] führt dann direkt auf \[\begin{aligned} Y(z) = \sum\limits_{n=1}^N \frac{z}{z-z_n} \; .\end{aligned}\] Im vorliegenden Fall bringt diese Art der Zerlegung keinen Vorteil, ist aber dennoch möglich, wie hier gezeigt wird.
Dazu beginnt man bei \eqref{eq:2} in der Form \[z^{-1} Y(z) = \frac14\, y[0]\frac{1}{z(z^2-\frac14)} + y[1] \frac{1}{z^2-\frac14} \label{eq:20}\] mit den Partialbruchzerlegungen \[\begin{aligned} \frac{1}{z(z^2-\frac14)} &= \frac{1}{z(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac{2}{z-\frac12} + \frac{2}{z+\frac12} -\frac{4}{z} \; . \\ \frac{1}{z^2-\frac14} &= \frac{1}{(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac12\frac{1}{z-\frac12} - \frac12\frac{1}{z+\frac12} \qquad\text{(wie vorher)}.\end{aligned}\] Einsetzen in \eqref{eq:20} gibt \[z^{-1} Y(z) = \frac14\, y[0]\left( \frac{2}{z-\frac12} + \frac{2}{z+\frac12} -\frac{4}{z} \right) + y[1] \left( \frac12\frac{1}{z-\frac12} - \frac12\frac{1}{z+\frac12} \right) \label{eq:21}\] und nach Zusammenfassung und Multiplikation mit \(z\) \[Y(z) = \frac12\, \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1]\right) + \frac12\, \frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1]\right) - y[0] \; . \label{eq:22}\] Der einsame Term \(y[0]\) am Ende wir nun noch mit den anderen Termen verschmolzen. Dies gelingt mit der Darstellung \[y[0] = \frac12 \frac{z-\frac12}{z-\frac12}y[0] + \frac12 \frac{z+\frac12}{z+\frac12}y[0] \; . \label{eq:23}\] Einsetzen in \eqref{eq:22} und Zusammenfassen führt auf \[Y(z) = \frac14\, \frac{1}{z-\frac12} y[0] - \frac14\, \frac{1}{z+\frac12} y[0] + \frac{z}{z-\frac12} y[1] - \frac{z}{z+\frac12} y[1] \; . \label{eq:24}\] Die beiden Terme mit \(y[1]\) stellen Exponentialfolgen dar, die sich bei \(k=0\) gegenseitig aufheben. Dem entspricht im \(z\)-Bereich die Umformung \[\frac{z}{z-\frac12} - \frac{z}{z+\frac12} = \left( \frac{z}{z-\frac12} - \frac{z-\frac12}{z-\frac12}\right) - \left( \frac{z}{z-\frac12}- \frac{z+\frac12}{z+\frac12} \right) = \frac12 \frac{1}{z-\frac12} + \frac12 \frac{1}{z+\frac12} \; . \label{eq:25}\] Einsetzen in \eqref{eq:24} und Zusammenfassen gibt \[\begin{aligned} Y(z) &= \frac14\, \frac{1}{z-\frac12} y[0] +\frac12 \frac{1}{z-\frac12}y[1] - \frac14\, \frac{1}{z+\frac12} y[0] +\frac12 \frac{1}{z+\frac12}y[1] \\ &= \frac14\, \frac{1}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) - \frac14\, \frac{1}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right)\end{aligned}\] und damit schließlich wieder das Resultat aus \cite[Beispiel 14.3]{Girod_2005} \[\begin{aligned} Y(z) = \frac14\,z^{-1} \left( \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) - \frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).\end{aligned}\]
Ein alternativer Rechenweg setzt bei \eqref{eq:22} ein transformiert diese Gleichung direkt in den Zeitbereich. Dabei wird der letzte Term zu einem Impuls \(y[0]\,\delta(k)\) bei \(k=0\), der allerdings die Beiträge der entstehenden Exponentialfolgen bei \(k=0\) aufhebt. Diese Kompensation im Zeitbereich ist hier in algebraischer Form in \eqref{eq:25} schon vorweggenommen.
Die Darstellung der \(z\)-Transformierten des Ausgangssignals \(Y(z)\) durch Partialbrüche kann verschiedene Formen annehmen. Daraus folgen dann auch verschiedene Formen des Zeitsignals \(y[k]\), die durch unterschiedliche Anordnungen von Impulsen und reellen und komplexen Exponentialfolgen dargestellt werden. Die Gleichartigkeit dieser Darstellungen im Zeitbereich kann man aber auch schon in algebraischer Form in \(Y(z)\) erkennen.