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\label{eq:24}  \end{equation}  Die beiden Terme mit $y[1]$ stellen Exponentialfolgen dar, die sich bei $k=0$ gegenseitig aufheben. Dem entspricht im $z$-Bereich die Umformung  \begin{align} \begin{equation}  \frac{z}{z-\frac12} - \frac{z}{z+\frac12} &= =  \left( \frac{z}{z-\frac12} - \frac{z-\frac12}{z-\frac12}\right) -   \left( \frac{z}{z-\frac12}- \frac{z+\frac12}{z+\frac12} \right)  \\  &= =  \frac12 \frac{1}{z-\frac12} + \frac12 \frac{1}{z+\frac12}  \; .  \label{eq:25}  \end{align} \end{equation}  Einsetzen in~\eqref{eq:24} und Zusammenfassen gibt  \begin{align}  Y(z) &= \frac14\, \frac{1}{z-\frac12} y[0] +\frac12 \frac{1}{z-\frac12}y[1] -  
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\frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).  \end{align}  Ein alternativer Rechenweg setzt bei~\eqref{eq:22} ein transformiert diese Gleichung direkt in den Zeitbereich. Dabei wird der letzte Term zu einem Impulse $y[0]\delta(k)$ Impuls $y[0]\,\delta(k)$  bei $k=1$, der allerdings die Beiträge der entstehenden Exponentialfolgen bei $k=1$ aufhebt. Diese Kompensation im Zeitbereich ist hier in algebraischer Form in~\eqref{eq:25} schon vorweggenommen. \section{Fazit}