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&=  \frac12 \frac{1}{z-\frac12} + \frac12 \frac{1}{z+\frac12}  \; .  \label{eq:25}  \end{align}  Einsetzen in~\eqref{eq:24} und Zusammenfassen gibt  \begin{align} 
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Y(z) = \frac14\,z^{-1} \left( \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) -   \frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).  \end{align}  Ein alternativer Rechenweg setzt bei~\eqref{eq:22} ein transformiert diese Gleichung direkt in den Zeitbereich. Dabei wird der letzte Term zu einem Impulse $y[0]\delta(k)$ bei $k=1$, der allerdings die Beiträge der entstehenden Exponentialfolgen bei $k=1$ aufhebt. Diese Kompensation im Zeitbereich ist hier in algebraischer Form in~\eqref{eq:25} schon vorweggenommen.  \section{Fazit}  Die Darstellung der $z$-Transformierten des Ausgangssignals $Y(z)$ durch Partialbrüche kann verschiedene Formen annehmen. Daraus folgen dann auch verschiedene Formen des Zeitsignals $y[k]$, die durch unterschiedliche Anordnungen von Impulsen und reellen und komplexen Exponentialfolgen dargestellt werden. Die Gleichartigkeit dieser Darstellungen im Zeitbereich kann man aber auch schon in algebraischer Form in $Y(z)$ erkennen.