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\section{Direkte Anwendung der Partialbruchzerlegung}
Daraus Aus~\eqref{eq:1} folgt durch Ausmultiplizieren
direkt
\begin{equation}
Y(z) = \frac14\, y[0]\frac{1}{z^2-\frac14} + y[1] \frac{z}{z^2-\frac14} \; .
\label{eq:2}
\end{equation}
Die beiden von $z$ abhängigen Terme
in~\eqref{eq:2} haben die folgenden Partialbruchzerlegungen
\begin{align}
\frac{1}{z^2-\frac14} &= \frac{1}{(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac{1}{z-\frac12} - \frac{1}{z+\frac12}
\;,
\\
\frac{z}{z^2-\frac14} &= \frac{z}{(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac12\frac{1}{z-\frac12} + \frac12\frac{1}{z+\frac12}
\; .
\end{align}
Damit lautet $Y(z)$
\begin{align}
Y(z) = \frac14\, y[0]\left( \frac{1}{z-\frac12} - \frac{1}{z+\frac12}\right) + y[1] \left( \frac12\frac{1}{z-\frac12} + \frac12\frac{1}{z+\frac12}\right)
\; .
%\label{eq:2}
\end{align}
und nach gleichen Partialbrüchen zusammengefasst
...
\end{align}
Durch Erweitern der Partialbrüche folgt schließlich das in~\cite[Beispiel 14.3]{Girod_2005} angegebene Resultat
\begin{align}
Y(z) = \frac14\,z^{-1} \left( \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right)
+ -
\frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).
\end{align}
Es enthält zwei Terme der Form
\begin{align}
\frac{z}{z-z_0} \qquad\text{mit}\quad z_0 = \pm\frac12
\end{align}
die jeweils eine Exponentialfolge im Zeitbereich repräsentieren und einen Verzögerungsoperator $z^{-1}$. Eine Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich durch Anwendung einer
einfachen Korrespondenz für Exponentialfolgen und des Verzögerungssatzes ist
so damit einfach möglich.
\section{Partialbruchzerlegung mit Verzögerungsterm}
In manchen Fällen ist es von Vorteil, die Partialbruchzerlegung anstelle auf $Y(z)$ auf die verzögerte Fassung $z^{-1}Y(z)$ anzuwenden. Eine Partialbruchzerlegung
\begin{align}
z^{-1}Y(z) = \sum\limits_{n=1}^N
\frac{1}{z-z_{\infty,n}} \frac{1}{z-z_n}
\end{align}
führt dann direkt auf
\begin{align}
Y(z) = \sum\limits_{n=1}^N
\frac{z}{z-z_{\infty,n}} \frac{z}{z-z_n} \; .
\end{align}
Im vorliegenden Fall bringt diese Art der Zerlegung keinen Vorteil, ist aber dennoch möglich, wie hier gezeigt wird.
...
\begin{align}
\frac{1}{z(z^2-\frac14)} &= \frac{1}{z(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac{2}{z-\frac12} + \frac{2}{z+\frac12} -\frac{4}{z}
\\
\frac{1}{z^2-\frac14} &=
\frac{z}{(z-\frac12)(z+\frac12)} \frac{1}{(z-\frac12)(z+\frac12)} = \frac12\frac{1}{z-\frac12} - \frac12\frac{1}{z+\frac12} \qquad\text{(wie vorher)}
\end{align}
Einsetzen in~\eqref{eq:20} gibt
\begin{equation}
...
\end{align}
und damit schließlich wieder das Resultat aus ~\cite[Beispiel 14.3]{Girod_2005}
\begin{align}
Y(z) = \frac14\,z^{-1} \left( \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right)
+ -
\frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).
\end{align}
