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\section{Einleitung}  Die Zustandsraumbeschreibung zeitdiskreter linearer und zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme) erfordert einige Übung im Umgang mit zeitdiskreten Signalen und ihren $z$-Transformierten. Diese Fertigkeiten werden in zahlreichen Lehrbüchern zur Systemtheorie vermittelt, u.a. in \cite{Girod_2007}. \cite{Girod_2005}.  Das dort enthaltene Beispiel 14.3 zeigt, wie aus einem Blockdiagramm eines zeitdiskreten Systems 2. Ordnung mit gegebenen Anfangsbedingungen die zugehörige Impulsanwort berechnet wird. Folgende Schritte sind durchzuführen: \begin{enumerate}  \item Aufstellen der Zustandsraumbeschreibung aus dem Blockdiagramm,  \item Berechnung der $z$-Transformierten des Ausgangssignals $Y(z)$ aus den Matrizen der Zustandsraumbeschreibung, 
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\end{enumerate}  Von Interesse ist hier der 3. Schritt, in dem von vielen möglichen Darstellungen der $z$-Transformierten $Y(z)$ diejenige gefunden wird, die die Äbhängigkeit von der komplexen Frequenzvariablen $z$ in einfacher Form erhält. Dies bedeutet, dass die $z$-Transformierte $Y(z)$ so zerlegt wird, dass die einzelnen Komponenten direkt den Einträgen in den bekannten Korrespondenztabellen entsprechen. Ein wichtiges Hilfsmittel dazu ist die Partialbruchzerlegung.  Die folgenden Abschnitte zeigen dieses Vorgehen anhand von Gleichung (14.32) in~\cite{Girod_2007}. in~\cite{Girod_2005}.  Die dort angegebene $z$-Transformierte lautet \begin{align}  Y(z) = \frac{\frac14}{z^2-\frac14} \; \left( y[0]+ z y[1] \right) \; .  %\label{eq:1} 
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Y(z) = \frac14\, \frac{1}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) +   \frac14\, \frac{1}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right).  \end{align}  Durch Erweitern der Partialbrüche folgt schließlich das in~\cite[Beispiel 14.3]{Girod_2007} 14.3]{Girod_2005}  angegebene Resultat \begin{align}  Y(z) = \frac14\,z^{-1} \left( \frac{z}{z-\frac12} \left(y[0]+2y[1] \right) +   \frac{z}{z+\frac12} \left(y[0]-2y[1] \right) \right).