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\textit{Secci\'on 1.3 Sholl}  \\  Para un set de electrones movi\'endose en un campo de set de n\'ucleos, se puede encontrar la configuraci\'on de energ\'ia m\'as baja, o estado, de los electrones. El estado de energ\'ia m\'as bajo es conocido como estado basal de los electrones, y la separaci\'on de los n\'ucleos y electrones en un problema matem\'atico separado es la aproximaci\'on \textit{Born-Oppenheimer}. Si se tienen $M$ n\'ucleos en posiciones \textbf{R}_{1},...,\textbf{R}_{M}, entonces se expresa la energ\'ia del estado basal,$E$, como funci\'on de las posiciones de estos n\'ucleos,$E(\textbf{R}_{1},...,\textbf{R}_{M})$. Esta funci\'on es conocida como \textit{Superficies de energ\'ia potencial adiab\'atico} de los \'atomos.  \\  Una forma simple de la ecuaci\'on de Schrodinger, espec\'ificamente la ecuaci\'on de Schrodinger independiente del tiempo, no relativista es $ H\psi =, E\psi$, donde H es el operador Hamiltoniano y $\psi$ esun set de soluciones, o autoestados,del Hamiltoniano. Cada una de estas soluciones, $\psi_{n}$, tiene un autovalor asociado, $E_{n}$, un n\'umero real que satisface la ecuaci\'on de autovalor. Una definici\'on detallada del Hamiltoniano depende del sistema f\'isco que se describe por la ecuaci\'on de Schrodinger. La situaci\'on de inter\'es considera multiples electrones interactuando con multiples n\'ucleos, en este caso la ecuaci\'on de Schrodinger es $$\left[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\sum_{i=1}^N\nabla_{1}^{2} + \sum_{i=1}^N V(\textbf{r}_i) + \sum_{i=1}^N \sum_{i<1} U (\textbf{r}_i,\textbf{r}_j)\right],\psi=E\psi$$  Donde m es la masa del electr\'on. Los tres t\'erminos en el corchete en la ecuaci\'on corresponde a energ\'ia cin\'etica de cada electr\'on,energ\'ia de interacci\'on entre cada electr\'on y el setden\'ucleos at\'omicos, y la energ\'ia de interacci\'on entre diferentes electrones.Para el Hamiltoniano se hace un cambio,$\psi$ es una funci\'on de onda electr\'onica, la cual es funci\'on de cadauna de las coordenadas espaciales de cada uno de los $N$ electrones, entonces $\psi=\psi(\textbf{r}_{1},...,\textbf{r}_{N})$,y $E$ es la energ\'ia del estado basal de los electrones. La energ\'ia del estado basal es independiente del tiempo, por lo tanto esta es la ecuaci\'on de Schrodinger independiente del tiempo.\\  Si bien la funci\'on de onda del electr\'on es una funci\'on de cada coordenada de los $N$ electrones, es posible aproximar $\psi$ como producto de funciones de onda de electrones individuales,$\psi=\psi_{1}(\textbf{r})\psi_{2}(\textbf{r}),...,\psi_{N}(\textbf{N})$. Esta expresi\'on para la funci\'on de onda es conocida como el producto de Hartree. Se debe mencionar que el n\'umero de electrones, $N$,es condireblamente mayor que el n\'umero de n\'ucleos, $M$, esto debido a que cada \'atomo posee un solo n\'ucleo y varios electrones. \\  Al volver nuevamente al Hamiltoniano,$H$, el t\'ermino definido como la interacci\'on electr\'on-electr\'on es el m\'as cr\'itico desde el punto de vista de solucionar la ecuaci\'on. La forma de esta contribuci\'on significa que cada funci\'on de onda de electr\'on individual es definida, $\psi_{i}(\textbf{r})$, no puede ser encontrada sin considerar simult\'aneamente las funciones de onda de electr\'on individual asociados con todos los otros electrones. Por lo que la ecuaci\'on de Schrodinger es un problema de varios cuerpos.  \\  Aunque resolver la ecuaci\'on de Schrodinger puede ser visto como un problema fundamental de la mec\'anica cu\'antica, vale la pena darse cuenta que la funci\'on de onda para cualquier set particular de coordenadas que no puede ser directamente observado. La cantidad que puede ser en principio medida es la probabilidad de que $N$ electrones est\'en en un set particular de coordenadas, \textbf{r}_{1},...,\textbf{r}_{N}. Esta probabilidad es igual a $\psi*(\textbf{r}_{1},...,\textbf{r}_{N})\psi(\textbf{r}_{1},...,\textbf{r}_{N})$, donde el asterisco indica un complejo conjugado. Adicionalmente notar que en esta situaci\'on tipicamente no se tiene cuidado cual electr\'on en el material est\'a etiquetado como electr\'on 1, electr\'on 2,etc. Por otra parte, incluso si se hiciera con cuidado, no se podr\'ia asignar f\'acilmente este etiquetado. Esto implica que la cantidad f\'isica de inter\'es es realmente la probabilidad que un set de $N$ electrones en cualquier orden tengan coordenadas \textbf{r}_{1},...,\textbf{r}_{N}. Una cantidad directamente relacionada es la densidad de electrones en una posici\'on en particular en el espacio,$n(\textbf{r})$. Este puede ser escrito en t\'erminos de la funci\'on de onda de electr\'on individual como $$n(\textbf{r})=2\sum_{i} \psi_{i}^{*}(\textbf{r})\psi_{i}(\textbf{r})$$  Aqu\'i, la sumatoria sobre todas las funciones de onda de electr\'on individual son ocupados por los electrones,por lo que el t\'ermino dentro de la sumatoria es la probabilidad de que un electron en la funci\'on de onda individual $\psi_{i}(\textbf{r})$ est\'a ubicado en la posici\'on \textbf{r}. El facto 2 aparece porque el electr\'on tiene spin y el principio de exclusi\'on de Pauli para los estados plantea que cada funci\'on de onda de electr\'on individual puede ser ocupado por dos electrones separados siempre que tengan diferente spin.Este efecto es puramente de la mec\'anica cu\'antica y no tiene hom\'ologo en la f\'isica cl\'asica. El punto de discusi\'on es la densidad electr\'onica, $n(\textbf{r})$, la cual es funci\'on s\'olo de tres coordendas, esta contiene gran cantidad de informac\'on que es f\'isicamente observable actualmente desde toda la soluci\'on de la funci\'on de onda para la ecuaci\'on de Schrodinger, la cual es funci\'on de $3N$ coordenadas.  \\  \textit{Secci\'on 1.4 Sholl}\\  Teor\'ia del Funcional Densidad-De funciones de onda de densidad electr\'onica.  \\  El campo completo de la teor\'ia del funcional de la densidad yace en dos teoremas matem\'aticos fundamentales propuesto por Kohn y Hohenberg y la derivaci\'on de un set de ecuaciones por Kohn y Sham a mediados de 1960. El primer teorema, demostrado por Hohenberg y Kohn,es: La energ\'ia del estado fundamental de la ecuaci\'on de Schrodinger es un funcional \'unico de la densidad electr\'onica.  \\  Este teorema de estados no es m\'as que un mapeo uno a uno entre la funci\'on de onda del estado fundamental y la densidad electr\'onica del estado fundamental. Para apreciar la importancia de este resultado,primero se necesita saber qu\'e es un funcional. El funcional esta \'intimamente relacionado con el concepto m\'as familia de una funci\'on. Una funci\'on toma un valor de una variable o variables y define un s\'olo n\'umero desde estas variables.  \\   Se puede reafirmar el resultado de Hohenberg y Kohn diciendo que la energ\'ia del estado basal $E$ puede ser expresada como $E[n(\textbf{r})]$, donde $n(\textbf{r})$ es la densidad electr\'onica. Esta es la raz\'on por el cual es conocido como la teor\'ia funcional de densidad.   \\  Otra forma de reafirmar el resultado de Hohenberg y Kohn es la densidad electr\'onica del estado fundamental \'unicamente determina todas las propiedades,incluyendo la energ\'ia de la funci\'on de onda del estado fundamental. Esto significa que se puede pensar resolver la ecuaci\'on de Schr\"odinger encontrando una funci\'on de tres variables espaciales, la densidad electr\'onica, m\'as bien una funci\'on de $3N$ variables,la funci\'on de onda.Aqu\'i resolviendo la ecuaci\'on de Schr\"odinger significa precisamente encontrar la energ\'ia del estado fundamental. \\  Desafortunadamente, aunque el primer teorema Hohenberg-Kohn rigurosamente demuestra que existe un funcional de la densidad electr\'onica que puede serusado para resolver la escuaci\'on de Schr\"odinger, el teorema no se refiere a qu\'e es actualmente el funcional.El segundo teorema de Hohenberg-Kohn define una importante propiedad del funcional: \textit{la densidad electr\'onica que minimiza la energ\'ia sobre todo el funcional es la densidad electr\'onica real correpondiente a la soluci\'on completa de la ecuaci\'on de Schr\"odinger}.\\  Una forma \'util de describir el funcional del teorema de Hohenber-Kohn es en t\'erminos de las funciones de onda de un solo electro\'on, $\psi_{i}(\textbf{r})$. Recordar de la ecuaci\'on (2) que estas funciones colectivamente definen la densidad electr\'onica, $n(\textbf{r})$. La energ\'ia del funcional puede ser esrita como:  $$ E[{\psi_{i}}]=E_{known}[{\psi_{i}}]+E_{XC}[{\psi_{i}}]$$