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Vamos definir, de modo genérico, a segunda derivada do potencial gravitacional em relação as direções $\alpha$ e $\beta$ como:
\begin{equation}
g_{\alpha g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{\partial^2 { U (\bf r)} }{\partial \alpha \partial \beta} \;\;\;\;\; \alpha, \;\; \beta = x, \;\; y \;\; e \;\; z.
\label{eqn:segunda-derivada-potencial}
\end{equation}
em que $\alpha$ e $\beta$ pertencem ao conjunto de direções $x$, $y$ e $z$ do sistema de coordenadas Cartesianas destral.
Estas segundas derivadas do potencial gravitacional, $g_{\alpha \beta}(\bf {r})$, formam a matriz dos gradientes de gravidade:
\[ \Gamma ( \bf {r} ) = \left[ \begin{array}{ccc}
{g_{xx}} g^{xx} &
g_{xy} g^{xy} &
g_{xz}\\
g_{yx} g^{xz}\\
g^{yx} &
g_{yy} g^{yy} &
g_{yz} g^{yz} \\
g_{zx} g^{zx} &
g_{zy} g^{zy} &
g_{zz} g^{zz} \end{array} \right].\]
Um elemento nesta matriz é a componente
$g_{\alpha $g^{\alpha \beta}(\bf {r})$ do gradiente de gravidade.
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Note ue
$g_{\alpha $g^{\alpha \beta}$ também representa a primeira derivada da componente $\alpha$ do campo gravimétrico
$g_{\alpha} $g^{\alpha} (\bf{r})$ em relação a direção $\beta$, i.e.:
\begin{equation}
g_{\alpha g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{\partial
{g_\alpha} {g^\alpha} }{\partial \beta},
\end{equation}
sendo que $\alpha$ e $\beta$ pertencem ao conjunto de direções $x$, $y$ e $z$ do sistema de coordenadas Cartesianas destral em que o eixo $x$ aponta para o norte, o eixo $y$ aponta para este e o eixo $z$ aponta verticalmente para o interior da Terra.
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A unidade de medida do campo gravitacional é o mGal . Na gradiometria gravimétrica, o gradiente de gravidade é a derivada espacial do campo gravitacional, implicando em mGal por unidade de distância, geralmente metro ou quilômetro. A unidade de medida mundialmente utilizada para medidas do gradiente de gravidade é o Eötvös.
Numericamente o valor de 1 Eötvös que é igual a $10^{-9}/s^{2}$
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Teoricamente, cada componente
$g_{\alpha $g^{\alpha \beta}(\bf {r})$ do gradiente de gravidade deveria conter somente informações sobre a distribuição de densidade em subsuperfície.
No entanto, todas as componentes estão contaminadas por um ruído aleatório ou sistemático.
O ruído nas medidas das componentes
$g_{\alpha $g^{\alpha \beta}(\bf {r})$ do gradiente de gravidade pode ser devido a diferentes fatores dentre eles: 1) o mau alinhamento dos sensores de cada acelerômetro; 2) vibrações e outras variáveis do equipamento e da aeronave que podem não terem sido monitoradas e compensadas durante processamento dos dados durante ou após o vôo; e 3) outras interferências de corpos não geológicos.
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Fisicamente, o método de filtragem do ruído que propomos efetuará uma aproximação dos sinais sem ruído das medidas das componentes do gradiente de gravidade por funções harmônicas que são ajustadas as medidas observadas das componentes do gradiente de gravidade.
Para cada componente
$g_{\alpha $g^{\alpha \beta}(\bf {r})$ do gradiente de gravidade será ajustado a uma função harmônica $
h_{\alpha h^{\alpha \beta}(\bf {r}, \bf {p})$, em que $\bf {p}$ é o vetor de parâmetros desconhecidos que descrevem a função harmônica a ser ajustada.
Presumimos que todas as seis funções harmônicas $ h_{\alpha \beta}(\bf {r}, \bf {p})$ serão ajustadas as seis componentes
$g_{xx}, g_{yy}, g_{zz}, g_{xy}, g_{xz}, g_{yz}$, $g^{xx}, g^{yy}, g^{zz}, g^{xy}, g^{xz}, g^{yz}$, que são as segundas derivadas de uma função harmônica
$
f (\bf W ( \bf {r}, \bf
{p})$ {p} )$ que também depende dos mesmos parâmetros desconhecidos $\bf {p}$.
Então, O problema geofísico consiste em estimar o vetor de parâmetros $\bf {p}$ que descreve as seis funções harmônicas $
h_{\alpha h^{\alpha \beta}(\bf {r}, \bf {p})$, que explique as seis componentes
$g_{xx}, g_{yy}, g_{zz}, g_{xy}, g_{xz}, g_{yz}$ $g^{xx}, g^{yy}, g^{zz}, g^{xy}, g^{xz}, g^{yz}$ e que, consequentemente explicará a função harmônica $
f W (\bf {r}, \bf {p})$.
Este método de ajustar funções harmônicas presume que as funções harmônicas $
h_{\alpha \beta}(\bf h^{\alpha \beta} ( \bf {r}, \bf
{p})$ {p} )$ ajustadas modelem adequadamente os sinais sem ruído das medidas das seis componentes do gradiente de gravidade.
A suavidade dos sinais sem ruído é controlada pela ordem e grau da função harmônica.
Note que neste método de filtragem do ruído estimamos um único vetor de parâmetros $\bf {p}$ que deve modelar simultaneamente o sinal das medidas das seis componentes do gradiente de gravidade
$g_{xx}, g_{yy}, g_{zz}, g_{xy}, g_{xz}, g_{yz}$. $g^{xx}, g^{yy}, g^{zz}, g^{xy}, g^{xz}, g^{yz}$.
Como as funções harmônicas $
h_{\alpha \beta}(\bf h^{\alpha \beta}( \bf {r}, \bf
{p})$ {p} )$ ajustadas são as segundas derivadas de uma função harmônica $
f W (\bf {r}, \bf {p})$, então fisicamente isto significa dizer que presumimos que os sinais livres de ruído das seis componentes do gradiente de gravidade são produzidos por uma mesma distribuição de densidade na subsuperfície da Terra cujo potencial gravitacional pode ser modelado pela função harmônica $
f W (\bf {r}, \bf
{p})$. {p} )$.
Vale ressaltar que neste método de filtragem do ruído garante que o dado filtrado obedecerá a equação de Lalace.
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