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\lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x^{(n\:+\:1)}}{2\cdot3^{(n\:+\:1)}}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}}{(n\:+\:1)\cdot x^n}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x^{(n\:+\:1)}\cdot x^{(-n)}}{2\cdot3^{(n\:+\:1)}}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}}{(n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x^{(n\:+\:1\:-\:n)}}{2\cdot3^{(n\:+\:1)}}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}}{(n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x^{(1)}}{2\cdot3^{(n\:+\:1)}}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}}{(n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x}{2\cdot3^{(n\:+\:1)}}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}}{(n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x}{2}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}\cdot3^{-(n\:+\:1)}}{(n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x}{2}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}\cdot3^{(-n\:-\:1)}}{(n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \lim_{n\to\infty}\left|\:\frac{(n\:+\:1)\cdot x}{2}\hspace{1em}\cdot\hspace{1em}\frac{2\cdot3^{n}\cdot3^{(-n\:-\:1\:+\:n\:+\:1)}\:\right|\hspace{1em}<\hspace{1em}1 \\[1em]  \end{align}