deletions | additions       diff --git a/GP.tex b/GP.tex  index 27c8817..f556ad2 100644  --- a/GP.tex  +++ b/GP.tex 
...
If the mean function is set to zero, i.e. $\mu(\mathbf{x}) = \mathrm{E}\left[f\left(\mathbf{x}\right)\right] = 0$, and covariance function is assumed to be known, aposterior mean value of the Gaussian Process in the test set $X_*$ has form   \cite{Rasmussen} $\hat{f}(X_*) = K_* K^{-1} Y$, where $K_* = K(X_*, X) = \left[k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), i = \overline{1, N_*}, j = \overline{1,N}\right]$ and $K = K(X, X) = \left[k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), i, j = \overline{1, N}\right]$.  Если положить функцию среднего нулевой $m(\mathbf{x}) = \mathrm{E}[f(\mathbf{x})] = 0$, а ковариационную функцию считать известной, то функция апостериорного (для заданной обучающей выборки) среднего значения гауссовского процесса в точках контрольной выборки $X_*$ имеет вид \cite{Rasmussen} $\hat{f}(X_*) = K_* K^{-1} Y$, где $K_* = K(X_*, X) = \bigl[k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), i = \overline{1, N_*}, j = \overline{1,N}\bigr], K = K(X, X) = \bigl[k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j), i, j = \overline{1, N}\bigr]$.  Обычно предполагается, что данные наблюдаются с шумом: It is generally assumed that the data is obsereved with random noise:  $ y(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) + \varepsilon(\mathbf{x})$, где where  $\varepsilon(\mathbf{x})\sim\mathcal{N}(0, \tilde{\sigma}^2)$ --- белый шум.  В таком случае наблюдения \tilde{\sigma}^2)$.   In that case observations  $y(\mathbf{x})$ являются реализацией гауссовского процесса с нулевым средним и ковариационной функцией $cov(y(\mathbf{x}), y(\mathbf{x}')) are generated by Gaussian Process with zero mean and covariance function $\mathrm{Cov}\left(y(\mathbf{x}), y(\mathbf{x}^\prime)\right)  = k(\mathbf{x}, \mathbf{x}') \mathbf{x}^\prime)  + \tilde{\sigma}^2\delta(\mathbf{x}- \mathbf{x}')$, где \mathbf{x}^\prime)$, where  $\delta(\mathbf{x})$ --- дельта-функция. is a Dirac delta funciton.  Таким образом, функция апостериорного (для заданной обучающей выборки) среднего значения гауссовского процесса $f(\mathbf{x})$ в точках контрольной выборки $X_*$ принимает вид:  \begin{equation}  \label{meanNoise}