# Entwicklungssatz von Shannon

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Beispiel:

$$(b\wedge\bar{c})\vee((c\oplus b)\wedge a\wedge b)$$

Auflösen:

$$(b\bar{c})\vee((c\oplus b)ab)=(b\bar{c})\vee((c\bar{b}\vee\bar{c}b)ab)$$

Entwickeln nach a:

$$a[(b\bar{c})\vee((c\bar{b}\vee\bar{c}b)1b)]\vee\bar{a}[(b\bar{c})\vee((c\bar{b}\vee\bar{c}b)0b)]$$

Entwickeln nach b:

$$\mathrm{I:}$$ $$a[b[(1\bar{c})\vee((c\bar{1}\vee\bar{c}1)11)]]\vee a[\bar{b}[(0\bar{c})\vee((c\bar{0}\vee\bar{c}0))01]]\vee$$
$$\mathrm{II:}$$ $$\bar{a}[b[(1\bar{c})\vee((c\bar{1}\vee\bar{c}1))10]]\vee\bar{a}[\bar{b}[(0\bar{c})\vee((c\bar{0}\vee\bar{c}0)00)]]$$

$$\mathrm{I:}$$ $$a[b[(1\bar{c})\vee(c\bar{1}\vee\bar{c}1)]]\vee a[\bar{b}[(0\bar{c})\vee(c\bar{0}\vee\bar{c}0)0]]\vee$$
$$\mathrm{II:}$$ $$\bar{a}[b[(1\bar{c})\vee(c\bar{1}\vee\bar{c}1)0]]\vee\bar{a}[\bar{b}[(0\bar{c})\vee(c\bar{0}\vee\bar{c}0)0]]$$

$$\mathrm{I:}$$ $$a[b[(1\bar{c})\vee(c\bar{1}\vee\bar{c}1)]]\vee a[\bar{b}[(0\bar{c})\vee 0]]\vee$$
$$\mathrm{II:}$$ $$\bar{a}[b[(1\bar{c})\vee 0]]\vee\bar{a}[\bar{b}[(0\bar{c})\vee 0]]$$

$$\mathrm{I:}$$ $$a[b[(\bar{c})\vee(0\vee\bar{c})]]\vee a[\bar{b}[0\vee 0]]\vee$$
$$\mathrm{II:}$$ $$\bar{a}[b[\bar{c}\vee 0]]\vee\bar{a}[\bar{b}[0\vee 0]]$$

$$\mathrm{I:}$$ $$a[b[(\bar{c})\vee(0\vee\bar{c})]]\vee$$
$$\mathrm{II:}$$ $$\bar{a}[b[\bar{c}\vee 0]]$$

Entwickeln nach c:

$$\mathrm{I:}$$ $$a[b[c[(\bar{1})\vee(0\vee\bar{1})]]]\vee\Rightarrow abc\wedge 0\Rightarrow 0$$
$$\mathrm{II:}$$ $$a[b[\bar{c}[(\bar{0})\vee(0\vee\bar{0})]]]\vee\Rightarrow ab\bar{c}\wedge 1\Rightarrow ab\bar{c}$$
$$\mathrm{III:}$$ $$\bar{a}[b[c[\bar{1}\vee 0]]]\Rightarrow\bar{a}bc\wedge 0\Rightarrow 0$$
$$\mathrm{IV:}$$ $$\bar{a}[b[\bar{c}[\bar{0}\vee 0]]]\Rightarrow\bar{a}b\bar{c}\wedge 1\Rightarrow\bar{a}b\bar{c}$$

DNF:

$$(ab\bar{c})\vee(\bar{a}b\bar{c})$$
$$\Rightarrow b\bar{c}$$