ROUGH DRAFT authorea.com/116483
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Numerki

    Przykłady zagadnień fizyki i techniki opisywanych prez równania różniczowe cząstkowe

    - Równania liniowe

    Równanie Laplace

    Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

    \( \bigtriangleup u = \sum_{i=1}^{n} u_{x_ix_i} =0\)

    \( u_{x_i} = \frac{du}{dx_i}\)

    \( u_{x_i x_i} = \frac{d^2u}{dx_i^2}\)

    Równanie Poisona

    Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elekrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

    \( \bigtriangleup u =f\)

    Liniowe równanie transportu

    \(u_t + \sum_{i=1}^{n}b^iu_{x_i} = 0\)

    przewodnictwa / dyfuzji

    \(u_t - \bigtriangleup u = 0\)

    Schrodingera

    \(u_t + \bigtriangleup u = 0\)

    falowe

    \(u_{tt} - \bigtriangleup u = 0 \)

    - Równania nieliniowe

    nieliniowe równanie Poissona

    \(-\bigtriangleup u = f(u)\)

    p-harmoniczne

    \(dir( |Du|^{P-2} Du ) = 0\)

    dir - dywergencja

    \(dir v = \sum_{i=1}^n \frac{dv_i}{dx_i}\)

    \(Du = \bigtriangledown u\)

    Równanie różniczowe cząstkowe; rząd równania różniczkowego; warunki graniczne

    Równaniem różniczkowym cz stkowym nazywamy równanie funkcyjne w postaci

    \(F(x ,u(x) , D^\alpha u) = f(x)\)

    \(0<|\alpha| < m\)

    \(u:D \subset R^n -> R^n\)

    \(\alpha\) multiindex (wektor)

    \(|\alpha| = \sum \alpha_i\)

    \(D^\alpha u = \frac{d^{|\alpha|} u}{dx_1^{\alpha_1} + ... + dx_n^{\alpha_n}}\)

    Rzędem równania różniczkowego cząstkowego nazywamy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w danym równaniu.

    Warunki brzegowe:

    \( B_j(x,u,d^\alpha u) = g_j(x) j=1 .. s \)

    \( 0 < |\alpha| < p_j\)

    \(x \in dD\)

    Klasyczne warunki:

    -Dirichleta

    \( u|_{dD} =0\)

    - Neumana

    \( \frac{du}{dn}(x) = g(x) \)

    \(x \in dD\)

    \( \frac{du}{dn} = lim \frac{u(x + hn) - u(x)}{h} = \bigtriangledown u * n = \sum \frac{du}{dx_i}n_i \)

    Zadania poprawnie postawione. Przykład Hadamarda

    a) Zadanie jest poprawnie postawione jeśli:

    - przy określonych warunkach granicznych istnieje rozwiązanie tego zadania

    - rozwiązanie to jest jednoznaczne

    - rozwiązanie to zależy w sposób ciągły od zadanych warunków granicznych

    b) Przykład Hadamarda Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego dla równania Laplace’a

    \(\left\{\begin{matrix} u_{xx} + u_{tt} = 0 \\ u(x,0) = 0 \end{matrix}\right.\)

    jest \(u(x,t) \equiv 0,\ x \in \mathbb{R},\ t \geqslant 0\).

    Rozwiązaniem ciągu zagadnień:(nie ważne??)

    \(\left\{\begin{matrix} u_{xx} + u_{tt} = 0 \\ u_n(x,0) = e^{-\sqrt{n}}\ dla\ n = 1, ..., n \end{matrix}\right.\)

    jest

    \(u_n(x,t) = e^{-\sqrt{n}}e^{nt}cos\ nx\ n = 1, 2, ...\)

    Metody różnicowe rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych (konstrukcja siatek, przestrzenie funkcji siatkowych, aproksymacja operatorów różniczkowych)

    a konstrukcja siatek

    \[R^{2}_{h} = \{ x = (i_{1}h_{1}, i_{2}h_{2})\ h_{1},h_{2} > 0;\ i_{1},i_{2} \in \mathbb{Z}\}\]

    siatka \(\