Numerki

Przykłady zagadnień fizyki i techniki opisywanych prez równania różniczowe cząstkowe

- Równania liniowe

Równanie Laplace

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

\( \bigtriangleup u = \sum_{i=1}^{n} u_{x_ix_i} =0\)

\( u_{x_i} = \frac{du}{dx_i}\)

\( u_{x_i x_i} = \frac{d^2u}{dx_i^2}\)

Równanie Poisona

Równanie Poissona opisuje wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. rozkład pola prędkości cieczy wypływającej ze źródła, potencjał pola grawitacyjnego w obecności źródeł, potencjał pola elekrostatycznego w obecności ładunków, temperaturę wewnątrz ciała przy stałym dopływie ciepła.

\( \bigtriangleup u =f\)

Liniowe równanie transportu

\(u_t + \sum_{i=1}^{n}b^iu_{x_i} = 0\)

przewodnictwa / dyfuzji

\(u_t - \bigtriangleup u = 0\)

Schrodingera

\(u_t + \bigtriangleup u = 0\)

falowe

\(u_{tt} - \bigtriangleup u = 0 \)

- Równania nieliniowe

nieliniowe równanie Poissona

\(-\bigtriangleup u = f(u)\)

p-harmoniczne

\(dir( |Du|^{P-2} Du ) = 0\)

dir - dywergencja

\(dir v = \sum_{i=1}^n \frac{dv_i}{dx_i}\)

\(Du = \bigtriangledown u\)

Równanie różniczowe cząstkowe; rząd równania różniczkowego; warunki graniczne

Równaniem różniczkowym cz stkowym nazywamy równanie funkcyjne w postaci

\(F(x ,u(x) , D^\alpha u) = f(x)\)

\(0<|\alpha| < m\)

\(u:D \subset R^n -> R^n\)

\(\alpha\) multiindex (wektor)

\(|\alpha| = \sum \alpha_i\)

\(D^\alpha u = \frac{d^{|\alpha|} u}{dx_1^{\alpha_1} + ... + dx_n^{\alpha_n}}\)

Rzędem równania różniczkowego cząstkowego nazywamy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w danym równaniu.

Warunki brzegowe:

\( B_j(x,u,d^\alpha u) = g_j(x) j=1 .. s \)

\( 0 < |\alpha| < p_j\)

\(x \in dD\)

Klasyczne warunki:

-Dirichleta

\( u|_{dD} =0\)

- Neumana

\( \frac{du}{dn}(x) = g(x) \)

\(x \in dD\)

\( \frac{du}{dn} = lim \frac{u(x + hn) - u(x)}{h} = \bigtriangledown u * n = \sum \frac{du}{dx_i}n_i \)