Double click to add a Title

KOLLOKVIUM (mat an 2)

\label{kollokvium-mat-an-2}

Contents

\label{contents}

Avaldist arvreaks .

Selle rea esimese \(n\)liikme summat \(S_{n}\) nimetatakse selle rea

Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada {\(S_{n}\)} on koonduv, st \(\exists\operatorname{}S_{n}=S\), kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust \(\operatorname{}S_{n}\) siis nimetatakse seda rida hajuvaks.

Näide 1. Uurime rea on hajuv.

Näide 2. Uurime rea positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga geomeetriline rida on koonduv, sest \(q=\frac{1}{2}\) ja , siis on uuritav rida koonduv.

Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine.

Arvrida \(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}\), kus \(q\) on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma \(S_{n}\) avaldub kujul: Rea summa \(S\) avaldub kujul:

\begin{equation} S=\operatorname{}S_{n}=\operatorname{}{\frac{1-q^{n}}{1-q}=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1-q},\ \text{kui}\ \left|q\right|<1\\ \nexists,\ \text{kui}\ \left|q\right|>1\\ \end{matrix}\right.\ }\nonumber \\ \end{equation}

Kui \(q=1\ \)siis on tegemist hajuva reaga. Kui \(q=-1\ \) siis saame \(S_{1}=1,\ S_{2}=0,\ S_{3}=1\), … ja selle puhul on samuti tegemist hajuva reaga. Seega jõuame järeldusele, et geomeetriline rida \(\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}\) koondub, kui \(\ \left|q\right|<1\) ja hajub, kui \(\left|q\right|\geq 1\).

Integraaltunnus: Olgu \(s=\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}\) positiivsete liikmetega rida, kusjuures \(a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq\ldots\) Peale selle olgu \(f(x)\) mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi:

\(f\left(1\right)=a_{1}\ ,f\left(2\right)=a_{2}\ ,\ f\left(3\right)=a_{3}\ ,\ \ldots\ \). Siis kehtivad järgmised väited:

  1. 1.

    Kui päratu integraal \(\int_{1}^{\infty}{f\left(x\right)\text{dx}}\) koondub, siis koondub ka rida \(s\).

  2. 2.

    Kui päratu integraal \(\int_{1}^{\infty}{f\left(x\right)\text{dx}}\) hajub, siis hajub ka rida \(s\).

Funktsiooni \(f(x)\) nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga \(x_{1}<\ x_{2}\), kehtib mitterange võrratus \(f(x_{1})<\ {f(x}_{2})\).

Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis (\(\mathbf{k}\mathbf{=}\mathbf{2}^{\mathbf{j}}\)).

Kui arvrea \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{ak}\) korral on täidetud tingimused, et

f(k)=ak,

f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus))

f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)),

siis rida \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{ak}\ \)ja päratu intergraal \(\sum_{k=1}^{\infty}{\int_{1}^{n+1}{f\left(x\right)\text{dx}}}\) kas koonduvad või hajuvad samaaegselt.

Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul

͚ ̵͚

1.Kui positiivsete arvridade Σk=1 ak ja Σk=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus

ak≤bk, siis

  • rea Σk=1bk koondumisest järeldub rea Σk=1 ak koondumine;

  • rea Σk=1 ak hajumisest järeldub rea Σk=1bk hajumine.

2.Kui Σk=1 ak ja Σk=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus nende üldliikmete ak ja bk suhtes

limk- ak/bk =γ≠0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt

Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame

Võime piirduda juhuga k0=1. Et

Siis saame tulemuseks võrratuste ahela

Käsitleme kahte juhtu. 1.Eeldame, et rida \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{ak}\) on koonduv. Olgu arv ε >0 selline, et

γ-ε>0. Ahela esimese võrratuse põhjal (γ-ε)bk <ak (kϵN). Positiivne arvrida \(\sum_{k=1}^{\infty}{\left(\gamma-\varepsilon\right)\text{bk}}\) koondub, mis aga koondub parajasti siis, kui koondub rida \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{bk}\). Seega on rida \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{bk}\) ka koonduv.

2. Eeldame, et rida \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{bk}\) on koonduv. Siis koondub ka rida, mille üldliikmeks on (γ+ε)bk. Ahela viimase võrratuse põhjal ak<(γ+ε)bk (kϵN). Järelikult rea \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{ak}\) koonduvusest järeldub rea \(\sum_{k=1}^{\infty}\text{bk}\) koonduvus ja vastupidi. Seega read kas koonduvad või hajuvad samaaegselt.

D’Alembert

Kui positiivse arvrea Σk=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus

,siis

  • Juhul q<1 on uuritav rida koonduv

  • Juhul q>1 on uuritav rida hajuv

Cauchy

Kui positiivse arvrea Σk=1 ak korral eksisteerib lõplik piirväärtus

siis

  • Juhul q<1 on uuritav rida koonduv

  • Juhul q>1 on uuritav rida hajuv

Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et

Piidab uurida vaid juhtu k0=1. Kui q<1, siis võime ette anda sellise arvu ε >0,et ka q+ε<1. Võrdleme posi