ROUGH DRAFT authorea.com/107636
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Открытые соревнования по астрономии 2016

    Oб открытых соревнованиях по астрономии

    С радостью приветствуем вас на открытых соревнованиях по астрономии. Напоминаем, что на решение задач отведено 3 часа. Во время решения можно пользоваться калькулятором и линейкой. Сложность заданий не зависит от их порядка, и их не обязательно решать подряд. Все задания оцениваются с равным весом, поэтому лучше сначала решить более простые на ваш взгляд задания, которые не требуют много времени, и лишь затем приступить к более сложным проблемам. При решении допускается делать обоснованные приближения и упрощения, а так же использовать общеизвестные предположения, которые необходимо при этом отметить. Первым делом советуем прочитать все задания. Все задания оцениваются по десятибальной шкале, за особенно точное или остроумное решение можно заработать два дополнительных пункта (их присуждение совместно решает жюри).

    Значение гравитационной константы

    Ньютон – первооткрыватель закона гравитации – не знал фактического значения гравитационной константы (однако знал значение \(G M_\mathrm{Земля}\)). Если бы он предположил, что Земля и Солнце имеют одинаковую плотность, какое значение для гравитационной константы он получил бы? Какие данные ему были бы нужны для этого (и какие у него могли быть)?

    Решение

    Уже в античные времена были известны определенные параметры солнечной системы. На основе изучения лунных затмений оценили диаметр луны и расстояние до нее (диаметр исходя из размера Земли и размера тени, расстояние с помощью параллакса). Расстояние до Солнца определили по углу между Солнцем и Луной, который измеряли точно во время половинной Луны. Зная расстояние до Солнца, можно определить размер последнего используя его угловой размер. Поэтому во времена Ньютона были известны примерные величины радиуса Солнца \(R_\odot = 700 000\)km, расстояние до Солнца \(d=1.496\cdot10^{11}\)m, а также Радиус и плотность Земли \(R_\mathrm{Земля}=6378\)km, \(\rho_\mathrm{Земля}=5515\)kg/m\(^3\). Ньютон знал также значение ускорения свободного падения у поверхности Земли, из которого получили значение для \(GM_\mathrm{Земля}\). Записав третий закон Кеплера для Земли, можем из него выразить \(GM_\odot\). \[\frac{4\pi^2}{G(M_\odot+M_\mathrm{Земля})}=\frac{P^2}{d_\odot^3},\] где \(P\) годичный период. . Если использовать предположение , что средняя плотность Солнца равна земной, тогда получаем уравнение для массы Солнца \(M_\odot = \frac43\pi\rho_\mathrm{Земля}R_\odot^3\). Подставляя формулу в закон Кеплера, получаем \[G = \left(\frac{d^34\pi}{P^2}-M_\mathrm{Земля}\right)\frac{3}{4\pi\rho_\mathrm{Земля}R_\odot^3} = 1,7\cdot10^{-11}\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}\]

    Убегание от Солнца

    Фотону, возникающему в центре Солнца в результате термоядерных реакций, необходимо очень много времени, чтобы добраться до поверхности, т.к. фотон постоянно “сталкивается” с атомными ядрами внутри Солнца. Зная скорость света (\(300 000\) km s\(^{-1}\)), площадь поперечного сечения рассеивающих частиц и их массу (\(\sigma=2,4 \cdot 10^{-30}\)m\(^2\), \(m_\mathrm{p}=1,67\cdot10^{-27}\)kg) и предполагая (ложно),что Солнце имеет однородную плотность, сколько времени необходимо, чтобы фотон достиг поверхности Солнца с вероятностью \(p=1\%\)? Для получения максимальных баллов достаточно составить правильное уравнение, можно использовать предположение одномерности.

    Решение

    Чтобы покинуть Солнце фотон должен пройти цилиндр, основание которого определено поперечным сечением протона и длина которого равна радиусу Солнца. Объем соответствующего цилиндра равен \(V=\sigma R_\odot\). Всего в Солнце подходящих для столкновения частиц \(N_k=M_\odot/m_p=1,2\cdot10^{57}\), из которых \(N=N_k\frac{V_\odot}{V}=\frac{M_\odot}{m_p}\frac{3V}{4\pi R_\odot^3}=1,4\cdot10^{9}\).

    Когда фотон покидает Солнце, то он сталкивается с множеством частиц и при каждом столкновении в одномерном случае у него \(50\%\) вероятность отлететь в сторону поверхности. Статистически это означает что отражений наверх должно быть в \(N\) раз больше, чем отражений в любую сторону. Бернули создал соответствующее статистическое распределения для описания такой ситуации. \[C_{K/2+N}^{K}0.5^K=p,\] где \(K\) описывает полное число столкновений. Решение данного уравнения практически невозможно без использования численных методов (используя приближение Стирлинга \(\log x!=x(\log x -1)\) и в свою очередь делая упрощения можно дать оценку значению \(K\)). Соответственно, окончательное уравнение для времени выхода фотона: \(t=\frac{K}{c}\frac{2R_\odot}{N}\).