Открытые соревнования по астрономии 2016

Oб открытых соревнованиях по астрономии

С радостью приветствуем вас на открытых соревнованиях по астрономии. Напоминаем, что на решение задач отведено 3 часа. Во время решения можно пользоваться калькулятором и линейкой. Сложность заданий не зависит от их порядка, и их не обязательно решать подряд. Все задания оцениваются с равным весом, поэтому лучше сначала решить более простые на ваш взгляд задания, которые не требуют много времени, и лишь затем приступить к более сложным проблемам. При решении допускается делать обоснованные приближения и упрощения, а так же использовать общеизвестные предположения, которые необходимо при этом отметить. Первым делом советуем прочитать все задания. Все задания оцениваются по десятибальной шкале, за особенно точное или остроумное решение можно заработать два дополнительных пункта (их присуждение совместно решает жюри).

Значение гравитационной константы

Ньютон – первооткрыватель закона гравитации – не знал фактического значения гравитационной константы (однако знал значение \(G M_\mathrm{Земля}\)). Если бы он предположил, что Земля и Солнце имеют одинаковую плотность, какое значение для гравитационной константы он получил бы? Какие данные ему были бы нужны для этого (и какие у него могли быть)?

Решение

Уже в античные времена были известны определенные параметры солнечной системы. На основе изучения лунных затмений оценили диаметр луны и расстояние до нее (диаметр исходя из размера Земли и размера тени, расстояние с помощью параллакса). Расстояние до Солнца определили по углу между Солнцем и Луной, который измеряли точно во время половинной Луны. Зная расстояние до Солнца, можно определить размер последнего используя его угловой размер. Поэтому во времена Ньютона были известны примерные величины радиуса Солнца \(R_\odot = 700 000\)km, расстояние до Солнца \(d=1.496\cdot10^{11}\)m, а также Радиус и плотность Земли \(R_\mathrm{Земля}=6378\)km, \(\rho_\mathrm{Земля}=5515\)kg/m\(^3\). Ньютон знал также значение ускорения свободного падения у поверхности Земли, из которого получили значение для \(GM_\mathrm{Земля}\). Записав третий закон Кеплера для Земли, можем из него выразить \(GM_\odot\). \[\frac{4\pi^2}{G(M_\odot+M_\mathrm{Земля})}=\frac{P^2}{d_\odot^3},\] где \(P\) годичный период. . Если использовать предположение , что средняя плотность Солнца равна земной, тогда получаем уравнение для массы Солнца \(M_\odot = \frac43\pi\rho_\mathrm{Земля}R_\odot^3\). Подставляя формулу в закон Кеплера, получаем \[G = \left(\frac{d^34\pi}{P^2}-M_\mathrm{Земля}\right)\frac{3}{4\pi\rho_\mathrm{Земля}R_\odot^3} = 1,7\cdot10^{-11}\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}\]

Убегание от Солнца

Фотону, возникающему в центре Солнца в результате термоядерных реакций, необходимо очень много времени, чтобы добраться до поверхности, т.к. фотон постоянно “сталкивается” с атомными ядрами внутри Солнца. Зная скорость света (\(300 000\) km s\(^{-1}\)), площадь поперечного сечения рассеивающих частиц и их массу (\(\sigma=2,4 \cdot 10^{-30}\)m\(^2\), \(m_\mathrm{p}=1,67\cdot10^{-27}\)kg) и предполагая (ложно),что Солнце имеет однородную плотность, сколько времени необходимо, чтобы фотон достиг поверхности Солнца с вероятностью \(p=1\%\)? Для получения максимальных баллов достаточно составить правильное уравнение, можно использовать предположение одномерности.

Решение

Чтобы покинуть Солнце фотон должен пройти цилиндр, основание которого определено поперечным сечением протона и длина которого равна радиусу Солнца. Объем соответствующего цилиндра равен \(V=\sigma R_\odot\). Всего в Солнце подходящих для столкновения частиц \(N_k=M_\odot/m_p=1,2\cdot10^{57}\), из которых \(N=N_k\frac{V_\odot}{V}=\frac{M_\odot}{m_p}\frac{3V}{4\pi R_\odot^3}=1,4\cdot10^{9}\).

Когда фотон покидает Солнце, то он сталкивается с множеством частиц и при каждом столкновении в одномерном случае у него \(50\%\) вероятность отлететь в сторону поверхности. Статистически это означает что отражений наверх должно быть в \(N\) раз больше, чем отражений в любую сторону. Бернули создал соответствующее статистическое распределения для описания такой ситуации. \[C_{K/2+N}^{K}0.5^K=p,\] где \(K\) описывает полное число столкновений. Решение данного уравнения практически невозможно без использования численных методов (используя приближение Стирлинга \(\log x!=x(\log x -1)\) и в свою очередь делая упрощения можно дать оценку значению \(K\)). Соответственно, окончательное уравнение для времени выхода фотона: \(t=\frac{K}{c}\frac{2R_\odot}{N}\).

Наблюдение Луны

Когда Луна кажется визуально больше, когда она близка к горизонту (центр на высоте \(5^{\circ}\) относительно горизонта) или когда ее наблюдают точно зените (в случае если Луну наблюдают в туже самую ночь)? Необходимо принять во внимание все возможные эффекты, влияние которых важно. В случае, если влияние явления маргинально, можно отметить, что его не нужно учитывать. Показатель преломления воздуха \(n_{воздух} = 1.0003\), толщину атмосферы можно принять равной 100 км.

Зависимость показателя преломления атмосферы от высоты над горизонтом. По оси абцисс обозначена видимая высота относительно горизонта, по оси ординат смещение изображения в угловых минутах.

Решение

Самым важным фактором, влияющим на ее размер, является расстояние Луны от нас. Если для находящейся в зените Луны оно определяется как \(R_{Kuu}\), то для находящейся на высоте \(5^{\circ}\) относительно горизонта расстояние можно определить из возникшего треугольника. В целом неважно как решать задачу для треугольника, но в данном случае мы используем теорему синусов. \[\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma},\] где \(a\) прямая между центром Земли и наблюдателем, \(b\) прямая между центром Земли и Луной и \(c\) прямая между наблюдателем и Луной. Тогда углами являются противополжные углы соответствующих прямых, из которых мы знаем только \(\beta = 95^{\circ}\). Отсюда выразим сначала \(\alpha\), \[\alpha = arcsin(\frac{a}{b / sin{\beta}}) = 0.9469^{\circ} \rightarrow \gamma = 180 - \alpha - \beta = 84.0531,\] откуда можем выразить теперь расстояние до Луны: \[c = sin \gamma \cdot \frac{b}{sin \beta} = 0.9984 D_{Kuu}\] Теперь можем сравнить угловые размеры Луны в обоих случаях, вблизи горизонта (H) и в зените (S): \[\theta_H = arctan(\frac{R_{Kuu}}{0.9984 \cdot D_{Kuu}}) \ \& \ \theta_S = arctan(\frac{R_{Kuu}}{D_{Kuu}-R_{Maa}}).\] Подставив сюда числа, получим, что Луна в зените кажется на \(0.56 ''\) больше. Если мы учтем, что рефракция изменяет Луну в вертикальном направлении в сторону уменьшения и в горизонтальном направлении не меняет ничего, а также тот факт, что вблизи от горизонта убеличительный эффект от атмосферы является маргинальным, то мы можем достоверно утверждать, что Луна в зените кажется больше.

Масса Abell 3827

Известно, что объекты большой массы могут изменять направление распространения света. Эффектом гравитационной линзы называется явление при котором массивное тело искривляет своим гравитационным полем направление распространения света. В случае идеальных условий наблюдения и если объект, излучающий свет, находится точно в два раза дальше чем галактика или скопление галактик, выступающие в качестве гравитационной линзы, то в этом случае наблюдатель видит кольцеобразное изображение дальнего объекта. Это изображение называется кольцом Эйнштейна. Если объект, выступающий в качестве линзы не является идеально сферическим, в этом случае кольцо будет неровным.

Радиус кольца Эйнштейна можно найти с помощью соотношения: \[\theta_e = 0.5'' (\frac{M}{10^{14} M_{\odot}})^{1/2} \cdot (\frac{d}{1000 Mpc})^{1/2},\] где \(\theta_e\) радиус кольца в угловых секундах, \(M\) масса объекта, образующего линзу, и \(d\) его расстояние.

Рассмотрим галактическое скопление Abell 3827 с интересным частичным кольцом Эйнштейна. Это скопление находится от нас на расстоянии примерно 1.4 млрд. световых лет. Пожалуйста оцените массу Abell 3827. В качестве подсказки приводится фотография кольца Эйнштейна скопления Abell 3827.

Abell 3827, фото: Massey et al.

Более точный вид на кольцо Эйнштейна. Massey et al.

Abell 3827 Данные: Названия столбцов (Название, прямое восхождение, склонение, для эллипса проходящего через данную точку и центр скопления: большая полуось, малая полуось, угол измеренный с западного направления и двигаясь против часовой стрелки)

Решение

Для решения задачи необходимо сделать только два действия. Во первых необходимо определить по фотографии радиус кольца Эйнштейна и во вторых выразить ис формулы массу.

Во первых необходимо понять, что поскольку кольцо Эйнштейна не является кругом, но эллиптическое, то в этом случае нужно измерить обе полуоси. Из второго рисунка, можно найти с помощью крайних точек величину эллипса. В данном решении использовано среднее значение больших полуосей, \(\theta_e = 0.25 ''\), но считаем правильными все полученные разумным образом ответы.

Теперь к формуле. Сравнительно легко выразить из формулы массу. Получим: \[M = 10^{14} M_{\odot} \cdot (\frac{\theta_e}{0.5''})^2 \cdot \frac{1000 Mpc}{d}.\]

Заменив теперь численными значениями, получим: \[M = 10^{14} M_{\odot} \cdot (\frac{0.25 ''}{0,5''})^2 \cdot \frac{1000 Mpc}{1.4 10^{3} \cdot 0.306 Mpc} = 5.86 \cdot 10^{13} M_{\odot},\] которая лишь немногим больше лучших точных оценок массы \(M_{A3827}=2.7 \cdot 10^{13} M_{\odot}\).

Какова яркость звезды?

В начале 19-го столетия началось соревнование в определении расстояния до звезд. Ф.Г.В.Струве первым опубликовал свои результаты в журнале, на основе сделанных в Тарту измерений расстояния до Веги. Совсем немного от него отстал Ф.В.Бессель. Бессель выбрал гораздо ближе расположенную двойную звезду 61 Cygni, у которой годовой параллакс был больше и поэтому неопределенность определения расстояния, вызванная ошибками измерения, была меньше. На сегодняшний день, расстояние до 61 Cygni измерено с помощью астрометрического сателлита Hipparcos. Ниже приведены основные параметры наиболее яркой компоненты звездной системы 61 Cygni(61 Cyg A):

61 Cygni A измеренные параметры
Параметр Значение
Лучевая скорость \(v_r\) -64,3 km/s
Параллакс \(\pi\) 285,88 милли-угловых секунд
Собственное движение \(\mu_\alpha\) 4156,93 милл-угловых секунд в год
Собственное движение \(\mu_\delta\) 3259,39 милли-угловых секунд в год
Видимая звездная величина \(5,^{m}20\)

Найти расстояние до 61 Cyg A Cygni в парсеках во время наибольшего приближения? В какой момент времени происходит это наибольшее приближение? Насколько ярким кажется 61 Cyg A в этот момент наземному наблюдателю?

1 Очень большой телескоп

Европейская северная обсерватория находится на Канарских островах на острове Ла Пальма ( в противоположность находящейся в Чили Европейской Южной обсерватории ). Там на вершине на половину остывшего вулкана Roque de los Muchachos основали обсерваторию, где к настоящему моменту работает множество телескопов. Самый большой из них является на сегодня крупнейшим в мире – Gran Telescopio Canarias (GTC) или Канарский большой телескоп – диаметр главного зеркала которого равен 10.4 м и фокусное расстояние 169.9 м. Насколько слабые звезды можно наблюдать через GTC с помощью человеческого глаза?

Таблица Планет

Таблица с общими данными о планетах солнечной системы и Луне.
Небесное тело Расстояние до Солнца Эксцентриситет орбиты Масса Диаметр на экваторе Период вращения Период обращения Плотность Албедо
Солнце 0 - 33000 109,2 25,4 - 0,26
Меркурий 0,39 0,206 0,06 0,38 59 0,241 0,98 0,142
Венера 0,72 0,0068 0,81 0,95 243 0,62 0,95 0,75
Земля 1 0,0167 1 1 1 1 1 0,30
Луна 0.00257 0,055 0,0123 0,025 27,3 0,075 0,61 0,12
Марс 1,52 0,093 0,107 0,53 1,03 1,88 0,71 0,16
Юпитер 5,2 0,049 318 11,2 0,42 11,9 0,24 0,34
Сатурн 9,6 0,056 95 9,4 0,44 29,5 0,125 0,34
Уран 19,2 0,044 14,5 4 0,72 84,3 0,23 0,30
Нептун 30,1 0,011 17,1 3,9 0,67 165 0,297 0,29

Расстояние до Луны, представленное в таблице, измерено от Земли; Все данные представлены в единицах Земли (Значение для Земли определено равным единице). В единицах SI параметры Земли были бы следующими:

  1. Расстояние до Солнца \(1,496\cdot10^{11}\)m

  2. Масса \(6\cdot10^{24}\)kg

  3. Диаметр на экваторе \(1,2756\cdot10^7\)m

  4. Период вращения 23t 56m 4s

  5. Период обращения 365p 6t 9min

  6. Плотность \(5515\) kg/m\(^3\)

  7. M_ = -26,74

[Someone else is editing this]

You are editing this file