This Authorea document template can be used to prepare documents according to a desired citation style and authoring guidelines. Abstracts are not always required, but most academic papers have one and writers should know how to produce a useful abstract. An abstract should be a very short, clear and concise summation of the entire paper.An abstract should provide enough of a preview that a typical reader will know whether or not they wish to read the paper. It should reveal both the purpose and conclusions of the paper.IntroductionThe format of this template follows a typical journal publication with an introduction, results and conclusion. Examples of an equation, list and citation are also included. The purpose of the introductionMost academic introductions follow an ‘inverted pyramid’ structure: they start broad and narrow down to a specific thesis or research question. The introduction should reveal:some broad knowledge of the overall topicreferences to related and prior work in the field of investigationsuccinct overview of the major point of the paperResultsThis section is only included in papers that rely on primary research. This section catalogues the results of the experiment. The results should be presented in a clear and unbiased way. Most results sections will contain links and citations, e.g., \cite{Feynman_1986}, and equations, e.g. \(e^{i\pi}+1=0\).ConclusionThe conclusion should reinforce the major claims or interpretation in a way that is not mere summary. The writer should try to indicate the significance of the major claim/interpretation beyond the scope of the paper but within the parameters of the field. The writer might also present complications the study illustrates or suggest further research the study indicates is necessary.
GRUNDLAGEN Definition Ein nach \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten geordnetes Schema, vorstellbar als Tabelle, reeller Zahlen nennen wir eine Matrix. Die Elemente einer Matrix heißen Koeffizienten oder Einträge. Genauer betrachtet ist eine Matrix also ein rechteckig angeordnetes Koeffizientenschema. Eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten heißt \(mn\)-Matrix. Matrizen werden mit Großbuchstaben bezeichnet und man schreibt Matrizen mit runden, seltener eckigen, Klammern: \[ A = a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \] Position in der Matrix Da es sich um ein geordnetes Schema handelt, ist die Bestimmung eines Koeffizienten in der Matrix über seine Position möglich. Die Einträge einer Matrix bezeichnen wir mit dem zugehörigen Kleinbuchstaben und die Position in der Matrix wird durch den Doppelindex \(i,k\) angegeben: \(a_{ik}\). Dabei gibt der erste Index stets die Zeile an und der zweite Index die Spalte eines Koeffizienten in der Matrix an. \[ B = 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & 6 & 9 & 2 \\ \] Zum Beispiel entspricht \(b_{24}\) einer Matrix B eindeutig den Eintrag in der 2. Zeile und der 4. Spalte, also dem Eintrag mit dem Wert \(1\). Addition Addiert man zwei Matritzen \(A = (a_{ik})\) und \(B = (b_{ik})\) jeweils vom Typ \( (m,n)\) entsteht eine neue Matrix \(C = (a_{ik} + b_{ik}) = (c_{ik})\) vom Typ \( (m,n)\). Unterscheiden sich die Dimensionen der Matritzen \(A\) und \(B\), so ist eine Matritzenaddition nicht möglich. Die Matritzenaddition ist kommutativ und assoziativ, d.h. sowohl \(A + B = B + A\) als auch \(A + (B + C) = (A + B) + C\). Beispiel: \[A = 1 & 2\\ 3 & 4 \\ B = 5 & 6\\ 7 & 8 \\ C = 9 & 10\\ 11 & 12 \\ \]\[ A + (B + C) = 1 & 2\\ 3 & 4 \\ + 5+9 & 6+10\\ 7+11 & 8+12 \\ = 1+5+9 & 2+6+10\\ 3+7+11 & 4+8+12 \\ \]\[ = 15 & 18\\ 21 &24 \\ = (A + B) + C \] Skalarmultiplikation Ein Skalar \(\lambda\) ist eine reelle Zahl. Wenn man eine mn-Matrix mit einem Skalar multipliziert erhält man eine mn-Matrix. Dabei wird jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalarmultipliziert: \[A\cdot \lambda = (a_{ik}\cdot \lambda)_{i\in \{1,...,m\}, k\in \{1,...,n\}}\] Graphisch dargestellt kann man dies so interpretieren: [image] [image] Matrizenmultiplikation Berechnung Wir multiplizieren eine mn-Matrix \(A\) und eine np-Matrix \(B\) miteinander und erhalten eine mp-Matrix \(C\). Für die Einträge der Ergebnismatrix \(C\) gilt: \[c_{ik} = mathPlaceholder24id\]\[ i = 1,...,m \]\[k=1,...,p\] Eine Matritzenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenzahl der Matrix \(A\) mit der Zeilenanzahl der Matrix \(B\) übereinstimmt. Mit anderen Worten: Das Element \(c_{ik}\) entspricht der Multiplikation der \(i\)-ten Zeile von \(A\), interpretiert als Zeilenvektor, und der \(k\)-ten Spalte von \(B\), interpretiert als Spaltenvektor. Das Ergebnis der Matritzenmultiplikation baut sich also so auf, dass jede der m Zeilen von A mit jeder der p Spalten von B auf diese Weise kombiniert werden. Falksches Schema Die Matritzenmultiplikation läuft zwar sehr schematisch ab, allerdings kann man schnell sich verrechnen indem man z.B. einen Index vergisst o.ä. Deswegen entwickelte man das Falksche Schema um die Matritzenmultiplikation zu vereinfachen. Mehrfache Matritzenmultiplikation Das Falksche Schema eignet sich nicht nur um zwei Matritzen miteinander zu multiplizieren, sondern es lassen sich auch Produkte leicht Errechnen, die aus mehr als zwei Faktoren bestehen: \(P = ABCD\) Um diese Matrix zu berechnen, ermitteln wir zunächst die Teilprodukte, also: \(P = ABCD = ((AB)C)D\). Im Falkschen Schema müssen wir dazu nicht immer ein neues Schema aufzeichnen, was bedeuten würde, dass wir Teilprodukte doppelt aufschreiben müssten, sondern können wir das Anordnungsschema bei mehrfacher Multiplikation nebeneinander oder auch untereinander schreiben jenachdem mit welchem Faktor wir beginnen zu rechnen: [image] Quadratische Matrizen Eine Matrix mit \(m\) Zeilen und \(m\) Spalten heißt quadratische Matrix der Ordnung \(m\), da die Spalten- und Zeilenanzahl übereinstimmt. Einheitsmatrix Man bezeichnet eine quadratische Matrix \(E_n\) der Ordnung \(n\) als Einheitsmatrix, wenn alle Einträge der Hauptdiagonalen, welche von oben links nach unten rechts verläuft, den Wert 1 besitzen und alle sämtlichen anderen Elemente 0 entsprechen. Mit Hilfe des Kronecker-Deltas lassen sich Einheitsmatritzen auf eine weitere Weise aufschreiben. Das Kronecker-Delta ist folgendermaßen definiert:\[ = 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \\ \] Einheitsmatritzen sind also auch so definiert: \[E_n = ()_{i,j\in \{1,...,n\}}\] Zum Beispiel: \[E_4 = 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \] Multipliziert man eine Einheitsmatrix mit einer passenden Matrix, wie einer 1-spaltigen Matrix, also einem Vektor, so kommt als Ergebnis der Multiplikation der selbe Vektor heraus: \[ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \cdot 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ = 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ \] ERWEITERUNGEN Determinante Berechnung Man kann einer quadratischen Matrix durch Anwendung bestimmter Rechenvorschriften eine reelle Zahl zuordnen, welche Determinante genannt wird. Der Ausdruck \(detA\) bezeichnet dabei die für eine quadratische Matrix \(A\) charakteristische Determinante. Unteranderem lässt sich mit Hilfe von Determinanten Aussagen über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen treffen. Darüberhinaus werden Determinanten allerdings auch auf andere Weisen genutzt wie im Verlauf dieser Arbeit zu sehen werden ist. Die Berechnung der Determinante einer gegebenen Matrix ist nicht trivial, da die Vorgehensweise der Berechnung von der Ordnung \(m\) der Matrix abhängt. Für quad. Matrizen der Ordnung \(2\) und \(3\) liegen Formeln vor, die das einfache Errechnen der Deteminante ermöglicht: \[ A = a & b\\ c & d \\ \] \[ detA = a & b \\ c & d \\ = ad - bc \] \[ B = a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \] \[ detB = a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb \] Hier wurde eine weitere Schreibweise für Determinanten eingeführt, welche äquivalent zueinander ist: \[ detA = detA = a & b \\ c & d \\ \] Zur Berechnung von Determinanten gegebener quadratischer Matrizen höherer Ordnung wird unteranderem der Gauß-Jordan-Algorithmus verwendet, welcher nicht Teil dieser Arbeit ist und deswegen an dieser Stelle nur namentlich erähnt wird. Beispiel \[ P = 1 & 2\\ 3 & 4 \\ \] \[ detP = 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = -2 \] Lösbarkeit von LGS’ Eigenwertprobleme \(A\) ist eine quad. Matrix der Ordnung \(m\) und gegeben ist die Gleichung \(A = \lambda\). Wenn diese Gleichung erfüllt ist, nennt man \(\lambda\) Eigenwert und \(\) Eigenvektor der Matrix \(A\). Allerdings darf der Eigenvektor nicht ein Nullvektor sein, d.h. alle Einträge des Vektors dürfen nicht gleich \(0\) entsprechen. Wie bereits gezeigt wurden ist, ist die Multiplikation einer entsprechenden Einheitsmatrix \(E\) mit einem Vektor als Ergebnis der selbe Vektor. Mit diesem Wissen können wir die Gleichung umformen. Die entstandene Gleichung nennt man Säkulargleichung: \(A = \lambda \Leftrightarrow A - \lambda = \Leftrightarrow A - \lambda E_m = \Leftrightarrow (A - \lambda E_m) = \) Nun ist z.B. für \(m=3\): \[ \lambda \cdot E_3 = \lambda \cdot 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ = \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \\ \] \[ A - \lambda E_3 = a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ + (-1) \cdot \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \\ \] \[ = a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda \\ \] Nun können wir ein lineares Gleichungssystem aufstellen indem wir Matritzenmultiplikation anwenden und jeweils eine Zeile des neu entstandenen Vektors als eine Zeile eines LGS interpretieren: \[ (a_{11} - \lambda)x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1m}x_m = 0 \\ a_{21}x_1 + (a_{22} - \lambda)x_2 + ... + a_{2m}x_m = 0 \\ ... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + (a_{mm} - \lambda)x_m = 0 \\ \] Wegen \(x \neq 0\), ist das obige LGS lösbar, wenn \(det(A-\lambda E_m) = 0\) entspricht. Dies geht aus Erkentnissen früherer Kapitel heraus. Berechnet man diese Determinante erhält man ein Polynom n-ten Grades mit der Variable \(\lambda\). Dieses Polynom wird charakteristisches Polynom oder charakteristische Gleichung genannt. Gesucht ist nun ein \(\lambda\), sodass das LGS lösbar ist. Dabei stellt eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms genau dieses oder diese \(\lambda\) dar, welche benötigt werden, damit \(det(A-\lambda E_m) = 0\) erfüllt ist.