ROUGH DRAFT authorea.com/114137
Main Data History
Export
Show Index Toggle 20 comments
  •  Quick Edit
  • Алгоритмы локации и маршрутизации. Алгоритм Калмана-Кузьмин

    Введение

    Фильтр Калмана – эффективный рекурсивный фильтр, оценивающий вектор состояния динамической системы, используя ряд неполных и зашумленных измерений. Назван в честь Рудольфа Калмана. Впервые был описан в 1960 году(Gen 2002).

    Постановка задачи

    Пусть \(x_{k}\) это величина, которую необходимо отфильтровать. Уравнение этой величин:

    \begin{equation} \label{eqn:one}x_{k+1}=a\cdot x_{k}+k+\varepsilon_{k}\\ \\ \end{equation}

    Где, \(a\) - параметр, \(\varepsilon_{k}\) – это ошибка модели, которая является случайной величиной. Далее введем некоторый сенсор,который будет считывать величину \(z\) с погрешностью \(\eta_{k}\)

    \begin{equation} \label{eqn:two}z=b\cdot x_{k}+\eta_{k}\\ \end{equation}

    \({x}^{opt}\) - фильтрованная величина. Вычисляется по следующей формуле:

    \begin{equation} \label{eqn:six}{x}^{opt}_{k+1}=K_{k+1}z_{k+1}+(1-K_{k+1})(a\cdot{x}^{opt}_{k}+k)\\ \end{equation}
    \begin{equation} \label{eqn:five}K_{k+1}=\frac{E{e}^{2}_{k}+{\sigma}^{2}_{\varepsilon}}{E{e}^{2}_{k}+{\sigma}^{2}_{\varepsilon}+{\sigma}^{2}_{\eta}}=\frac{E({e}^{2}_{k+1})}{{\sigma}^{2}_{\eta}}\\ \end{equation}
    \begin{equation} \label{eqn:three}E({e_{k}+1}^{2})=\frac{{\sigma_{\eta}}^{2}(E{e}^{2}_{k}+{\sigma}^{2}_{\varepsilon})}{{e}^{2}_{k}+{\sigma}^{2}_{\varepsilon}+{\sigma}^{2}_{\eta}}\\ \end{equation} \begin{equation} \label{eqn:four}E({e}^{2}_{k})=E({\eta}^{2}_{0})={\sigma}^{2}_{\eta}\\ \end{equation} \begin{equation} \label{eqn:seven}{x}^{opt}_{0}=z_{0}\\ \end{equation}

    (David)