Astrolahtine2016_N

Kuu liikumine

Kui suur on Kuu minimaalse ja maksimaalse nurkkiiruse erinevus taevas (tähtede suhtes)? Eeldage, et Kuu orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Maa. Orbiidi ekstsentrilisus on \(e=\sqrt{1-b^2/a^2}=0,055\) ning orbiidi pikk pooltelg (ja samas vigade piires ka keskmine kaugus) \(a = 385000\)km. \(b\) tähistab orbiidi lühikest pooltelge. Kuu orbiidi sideeriliseks perioodiks võib võtta \(P=27,322\) päeva.

Lahendus

Kuu orbiidi ekstsentrilisuse ja pika pooltelje abil on võimalik leida orbiidi fookuskaugus \(f=a\cdot e=2,1\cdot10^{7}\) m, millest omakorda saab teada maksimaalse (\(d_1=a+f=4,06\cdot10^{8}\)m) ja minimaalse (\(d_2=a-f=3,64\cdot10^{8}\)m) kauguse Maakerast. Neis punktides on Kuul ka vastavalt vähim ja suurim nurkkiirus. Parim meetod nurkkiiruse leidmiseks on kasutada lineaarset kiirust, mis on omakorda leitav Kepleri teisest seadusest (võrdsete ajavahemike jooksul katab Kuu raadiusvektor orbiidist võrdse pindala), ehk \(S=d_1v_1t/2 = d_1v_1t/2\). \(v_1\) ja \(v_2\) tähistavad Kuu kiirust \(d_1\) ja \(d_2\) juures. Vastavad seosed kehtivad suvalise lühikese aja \(t\) korral, ka siis kui selle väärtus on 1 sekund. Algandmete korral on võimalik konstrueerida sama seos ka terve keskmistatud orbiidi parameetrite korral, ehk \(S = \frac{2\pi a b v}{2P} = 1,9\cdot10^{11}\)m\(^2\). Selle väärtuse põhjal saab leida ka \(v_1=944\)m s\(^{-1}\) ning \(v_2=1054\)m s\(^{-1}\). Vastavad nurkkiirused oleks \(0,480\) ja \(0,598\) kaaresekundit sekundis, ehk erinevus on \(0,118\) kaaresekundit sekundis.

Kommentaar: äkki oleks mõtet küsida hoopis kiiruste suhet ja mitte vahet?

Hindamine: max ja min kauguse leidmine - 5; Kepleri II seaduse teadmine ja rakendamine - 3; Keskmised väärtuste põhjal pindala - 1; lõppvastus - 1

Gravitatsioonikonstandi väärtus

Newton - gravitatsiooniseaduse avastaja - ei teadnud gravitatsioonikonstandi tegelikku väärtust (küll aga teadis \(G M_\mathrm{Maa}\) väärtust). Kui ta oleks eeldanud, et Maa ja Päike on umbes sama tihedusega, mis väärtuse oleks ta gravitatsioonikonstandile saanud? Mis infot ta selleks oleks vajanud (ja mis võis tal olemas olla)?

Lahendus

Alates antiikajast on teatud teatavaid Päikessüsteemi parameetreid. Kuuvarjutuste põhjal on hinnatud nii Kuu läbimõõtu ja kaugust (läbimõõt Maa suuruse ja varju suuruse põhjal, kaugus parallaksi abil). Päikese kaugus määrati Päikese ja Kuu vahelise nurga põhjal, mis on mõõdetud täpselt poolkuu ajal. Teades Päikese kaugust on võimalik viimase suurust arvutada nurkläbimõõdu põhjal. Seega oli Newtoni ajaks olid olemas hinnangulised suurused nii Päikese raadiuse \(R_\odot = 700 000\)km, Päikese kauguse \(d=1,496\cdot10^{11}\)m ning Maakera raadiuse ja tiheduse \(R_\mathrm{Maa}=6378\)km, \(\rho_\mathrm{Maa}=5515\)kg/m\(^3\) jaoks. Newton teadis ka raskuskiirendust maapinnal, millest sai omakorda väärtuse \(GM_\mathrm{Maa}\). Pannes kirja Kepleri kolmanda seaduse Maa jaoks, saab sellest avaldada \(GM_\odot\). \[\frac{4\pi^2}{G(M_\odot+M_\mathrm{Maa})}=\frac{P^2}{d_\odot^3},\] kus \(P\) tähistab aasta pikkust perioodi. Kui kasutada eeldust, et Päikese kesmine tihedus on sama Maa omaga, saame Päikese massiks \(M_\odot = \frac43\pi\rho_\mathrm{Maa}R_\odot^3\). Asendades selle seose Kepleri seadusesse, saame vastuseks \[G = \left(\frac{d^34\pi}{P^2}-M_\