Cardinal invariants

Abstract

О ПОВЕДЕНИИ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ ПРИ ВЗЯТИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ ЦЕПИ ПРОСТРАНСТВ

М. Г. Ткаченко

Пусть \(\{Х_\alpha : \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в \(Х\) и \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для каждого \(\alpha\in А\), где \(\Phi\) — кардинальная функция, определенная на классе топологических пространств. Что тогда можно сказать о значении \(\Phi(Х)\)? Этот вопрос рассматривается в статье.

Через \(w(Х)\), \(nw(Х)\) и \(\pi w(Х)\) обозначены вес, сетевой вес и \(\pi\)-вес пространства \(Х\) соответственно; \(s(Х)\) и \(iс(Х)\) – плотность и индекс компактности пространства \(Х\). Через \(t(Х)\), \(ш(Х)\), \(с(Х)\), \(\chi(Х)\) и \(\psi(Х)\) мы обозначаем тесноту, число Шанина, число Суслина, характер и псевдохарактер \(Х\), соответственно. Пусть \(\Phi\) — какая-то кардинальная функция.

Положим по определению \(\overline{\Phi}(Х) = \sup\{\Phi(М): М\subset Х\}\). Кардиналы отождествляем с соответствующими ординалами. Через \(|А|\) обозначаем мощность множества \(А\). Напомним, что пространство \(М\) называется правым (левым), если существует вполне-упорядочение \(<\) на \(М\), такое, это множество \(\{у\in М: у\leq х\}\) (\(\{у\in М: х\leq у\}\)) открыто в \(М\) для каждого \(х\in М\).

В работе [1] показано, что \[\overline{s}(Х) = \sup\{|М|: М\subset Х, М \mbox{ левое}\}\] и \[\overline{ic}(Х) = \sup \{|М| : М\subset Х, М \mbox{ правое}\}.\]

Следовательно, если \(\overline{s}(Х) =\tau\) (или \(\overline{ic}(Х) =\tau\)), то для каждого \(\lambda<\tau\) найдется левое (правое) \(М\subset Х\), такое, что \(|М|=\lambda\). Это замечание будем использовать в дальнейшем.

Определение 1. Мы говорим, что пространство \(Х\) представлено в виде объединения цепи своих подпространств \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\), если \((А, <)\) – линейно-упорядоченное множество, \(Х_\alpha\subset Х_\beta\) при \(\alpha<\beta\) и \(Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\).

Определение 2. Цепь \(\mathcal{С}= \{Х_\alpha: \alpha\in В\}\) подпространств в \(Х\) называется канонической, если выполнены условия:

  1. \((В,<)\) – множество ординалов, меньших \(|В|\);

  2. если \(\alpha,\beta\in B\) и \(\alpha<\beta\), то \(Х_\alpha\subset Х_\beta\) (строгое включение);

  3. \(|В|\) – регулярный кардинал;

  4. \(Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in В\}\).

Заметим теперь, что если \(Х\) представлено в виде объединения цепи подпространств \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\), то существует \(В\subset А\), такое, что \(\{Х_\alpha: \alpha\in B\}\) — каноническая цепь в \(Х\). Поэтому в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств будем считать каноническими.

Лемма 1. Пусть \(Х\) — пространство и \(\tau\) — кардинал, такой, что \(\chi(Х)< \tau\) и \(w(Х)\geq \tau\). Тогда существует \(М\subset Х\), такое, что \(|М|\leq\tau\) и \(w(М)\geq \tau\).

Доказательство. Пусть \(\tau\) —- регулярный кардинал. Через \(\gamma_х\) oбозначим базу точки \(х\in Х\), \(|\gamma_х|<\tau\). Точку \(х_0\in Х\) выберем произвольно и положим \(М_0=\emptyset\). Пусть определены точка \(х_\beta\) и множество \(М_\beta\) для всех \(\beta<\alpha\), где \(\alpha<\tau\), причем \(|М_\beta|<\tau\). Положим \[A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}\] и \[\lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha\}.\] Очевидно, \(|А_\alpha| < \tau\) и поэтому \(\lambda_\alpha| < \tau\). Отсюда следует, что найдутся точка \(х_\alpha\in Х\) и ее открытая окрестность \(V(х_\alpha)\), такие, что \[О \cap (Х\setminus V(х_\alpha)) \neq \emptyset\] для всех \(O\in \lambda(х_\alpha)\). [Пусть \(\theta\) — система множеств в \(Х\) и \(х\in Х\). Через \(\theta(х)\) обозначим подсистему \(\{V\in\theta: х\in V\}\) системы \(\theta\).] Для каждого \(O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)\) из множества \(O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))\) выберем точку. Полученное множество обозначим через \(М\). Очевидно, \(|M_\alpha| < \tau\). Заметим, что \(х_\alpha\notin \overline{M_\alpha}\) и \(O\cap М_\alpha\neq \emptyset\) для всех \(O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)\), поэтому \(\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})\) не является базой точки \(х_\alpha\) в пространстве \(М_\alpha \cup \{х_\alpha\}\). [Если \(\theta\) —- система множеств в \(Х\) и \(А\subset Х\), то через \(\theta\restriction А\) обозначим систему \(\{V\cap А: V\in\theta\}\).]

Итак, пусть множества \(\{М_\alpha: \alpha< \tau\}\) и \(\{х_\alpha: \alpha< \tau\}\) построены. Положим \[М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\},\hskip 5pt \lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.\]

Очевидно, \(\lambda\restriction М\) — база пространства \(М\). Утверждаем, что \(w(М)\geq\tau\). Предположим обратное, то есть пусть \(w(М)<\tau\). Тогда существует \(\mu\subset\lambda\), \(|\mu|<\tau\) такое, что \(\mu\restriction М\) — база в \(М\). Однако существует \(\alpha<\tau\) для которого \(\mu\subset\lambda_\alpha\). Но \(\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})\) не база для точки \(х_\alpha\) в пространстве \(М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\), и ввиду того, что \(М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М\), система \(\lambda_\alpha\restriction М\) тем более не является базой точки \(х_\alpha\) в \(М\). Противоречие.

Итак, \(w(М)\geq\tau\). Пусть теперь \(\tau\) — сингулярный кардинал. Положим тогда \(\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau,\ \lambda — \mbox{ регулярный кардинал}\}\). Очевидно, \(\mathcal{P}\neq\emptyset\) и \(|\mathcal{P}|\leq\tau\). Для каждого \(\lambda\in\mathcal{P}\) существует \(М_\lambda\subset X\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и \(w (М_\lambda)\geq\lambda\). Положим \(М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}\). Очевидно, \(|М|\leq\tau\) и \(w(М)\geq\tau\). Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть \(Х\) – регулярное пространство. Тогда для каждого \(\lambda\leq w(Х)\) существует \(М_\lambda\subset Х\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и \(w(М_\lambda)\geq\lambda\).

Доказательство. Если \(\chi(Х)<\lambda\), то все следует из леммы 1. Пусть \(\chi(Х)\geq\lambda\). Предположим, что \(w(М)<\lambda\) для любого \(М\subset Х\), удовлетворяющего условию \(|М|\leq\lambda\). Заметим теперь, что если \(М\) — левое, то \(w(М)\geq |М|\) (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства в \(Х\) меньше \(\lambda\) и потому \(\overline{s}(Х)\leq\lambda\). Тем более, \(s(Х)\leq\lambda\). Зафиксируем всюду плотное в \(Х\) множество \(S\), \(|S|\leq\lambda\). В силу регулярности \(Х\), \[\chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\}) \leq w(S\cup \{р\}) < \lambda\] (так как \(|S\cup\{p\}\leq\lambda\)) для любой точки \(р\in Х\). Но \(\chi(Х)\geq\lambda\), поэтому \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\} =\lambda\). Следовательно, существует \(Q\subset Х\), такое, что \(|Q|\leq\lambda\) и \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\}=\lambda\). Тогда, очевидно, \(w(S\cup Q)\geq\lambda\), что противоречит предположению, сделанному в начале доказательства (\(|S\cup Q|\leq\lambda\)).

Теорема 2. Пусть \(Х\) — произвольное пространство. Тогда для любого кардинала \(\lambda\leq w(Х)\) существует \(М_\lambda\subset Х\), такое, что \(|М_\lambda|\leq \lambda\) и внешний вес \(М_\lambda\) в \(Х\) не меньше \(\lambda\).

Доказательство. Заметим, что \(w(М)\) не больше внешнего веса \(М\) в \(Х\) для любого \(М\subset Х\). Поэтому, если \(\chi(Х)<\lambda\), все следует из леммы 1. Пусть \(\chi(Х)\geq\lambda\). Можно считать, что \(\chi(р,Х)<\lambda\), для любой \(р\in Х\). Тогда \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda\). Существует \(Q\subset X\) такое, что \(|Q|\leq \lambda\) и \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda\). Легко видеть, что множество \(Q\) и есть нужное.

Теорема 3. Пусть \(\{Х_\alpha : \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в \(Х\) и \(\Phi\in \{с, \overline{с}, \overline{s}, \overline{ic} \}\). Тогда:

  1. если \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(\Phi(Х)\leq\tau\);

  2. если \(|A|>\tau\) и \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(\Phi(Х)\leq \tau\);

  3. если внешний вес \(Х_\alpha\) в \(Х\) меньше \(\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(w(Х)\leq\tau\); если к тому же \(|А|>\tau\), то \(w(Х)<\tau\).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть \(\Phi=\overline{iс}\) (для других кардинальных функций доказательство пунктов (а) и (б) аналогично). Покажем, что \(|М|\leq\tau\) для любого правого \(М\subset Х\), если \(|А|\leq\tau\). Положим \(М_\alpha= М\cap Х_\alpha\). Тогда \(|М_\alpha|<\tau\) для любого \(\alpha\in А\), так как \(\overline{ic}(Х_\alpha)<\tau\). Однако \(М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}\), поэтому \(|М|\leq\tau\). Пусть \(|A|>\tau\). Если \(\sup\{|М|: М — правое, М\subset Х\}\geq \tau\), то существует семейство \(\mathcal{P}\), состоящее из правых подпространств в \(Х\), такое, что \(|\mathcal{P}|\leq\tau\) и \(\sup \{|М| : М\in\mathcal{P}\}=\tau\)