О ПОВЕДЕНИИ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ ПРИ ВЗЯТИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ ЦЕПИ ПРОСТРАНСТВ
М. Г. Ткаченко
Пусть \(\{Х_\alpha : \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в \(Х\) и \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для каждого \(\alpha\in А\), где \(\Phi\) — кардинальная функция, определенная на классе топологических пространств. Что тогда можно сказать о значении \(\Phi(Х)\)? Этот вопрос рассматривается в статье.
Через \(w(Х)\), \(nw(Х)\) и \(\pi w(Х)\) обозначены вес, сетевой вес и \(\pi\)-вес пространства \(Х\) соответственно; \(s(Х)\) и \(iс(Х)\) – плотность и индекс компактности пространства \(Х\). Через \(t(Х)\), \(ш(Х)\), \(с(Х)\), \(\chi(Х)\) и \(\psi(Х)\) мы обозначаем тесноту, число Шанина, число Суслина, характер и псевдохарактер \(Х\), соответственно. Пусть \(\Phi\) — какая-то кардинальная функция.
Положим по определению \(\overline{\Phi}(Х) = \sup\{\Phi(М): М\subset Х\}\). Кардиналы отождествляем с соответствующими ординалами. Через \(|А|\) обозначаем мощность множества \(А\). Напомним, что пространство \(М\) называется правым (левым), если существует вполне-упорядочение \(<\) на \(М\), такое, это множество \(\{у\in М: у\leq х\}\) (\(\{у\in М: х\leq у\}\)) открыто в \(М\) для каждого \(х\in М\).
В работе [1] показано, что \[\overline{s}(Х) = \sup\{|М|: М\subset Х, М \mbox{ левое}\}\] и \[\overline{ic}(Х) = \sup \{|М| : М\subset Х, М \mbox{ правое}\}.\]
Следовательно, если \(\overline{s}(Х) =\tau\) (или \(\overline{ic}(Х) =\tau\)), то для каждого \(\lambda<\tau\) найдется левое (правое) \(М\subset Х\), такое, что \(|М|=\lambda\). Это замечание будем использовать в дальнейшем.
Определение 1. Мы говорим, что пространство \(Х\) представлено в виде объединения цепи своих подпространств \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\), если \((А, <)\) – линейно-упорядоченное множество, \(Х_\alpha\subset Х_\beta\) при \(\alpha<\beta\) и \(Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\).
Определение 2. Цепь \(\mathcal{С}= \{Х_\alpha: \alpha\in В\}\) подпространств в \(Х\) называется канонической, если выполнены условия:
\((В,<)\) – множество ординалов, меньших \(|В|\);
если \(\alpha,\beta\in B\) и \(\alpha<\beta\), то \(Х_\alpha\subset Х_\beta\) (строгое включение);
\(|В|\) – регулярный кардинал;
\(Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in В\}\).
Заметим теперь, что если \(Х\) представлено в виде объединения цепи подпространств \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\), то существует \(В\subset А\), такое, что \(\{Х_\alpha: \alpha\in B\}\) — каноническая цепь в \(Х\). Поэтому в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств будем считать каноническими.
Лемма 1. Пусть \(Х\) — пространство и \(\tau\) — кардинал, такой, что \(\chi(Х)< \tau\) и \(w(Х)\geq \tau\). Тогда существует \(М\subset Х\), такое, что \(|М|\leq\tau\) и \(w(М)\geq \tau\).
Доказательство. Пусть \(\tau\) —- регулярный кардинал. Через \(\gamma_х\) oбозначим базу точки \(х\in Х\), \(|\gamma_х|<\tau\). Точку \(х_0\in Х\) выберем произвольно и положим \(М_0=\emptyset\). Пусть определены точка \(х_\beta\) и множество \(М_\beta\) для всех \(\beta<\alpha\), где \(\alpha<\tau\), причем \(|М_\beta|<\tau\). Положим \[A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}\] и \[\lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha\}.\] Очевидно, \(|А_\alpha| < \tau\) и поэтому \(\lambda_\alpha| < \tau\). Отсюда следует, что найдутся точка \(х_\alpha\in Х\) и ее открытая окрестность \(V(х_\alpha)\), такие, что \[О \cap (Х\setminus V(х_\alpha)) \neq \emptyset\] для всех \(O\in \lambda(х_\alpha)\). [Пусть \(\theta\) — система множеств в \(Х\) и \(х\in Х\). Через \(\theta(х)\) обозначим подсистему \(\{V\in\theta: х\in V\}\) системы \(\theta\).] Для каждого \(O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)\) из множества \(O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))\) выберем точку. Полученное множество обозначим через \(М\). Очевидно, \(|M_\alpha| < \tau\). Заметим, что \(х_\alpha\notin \overline{M_\alpha}\) и \(O\cap М_\alpha\neq \emptyset\) для всех \(O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)\), поэтому \(\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})\) не является базой точки \(х_\alpha\) в пространстве \(М_\alpha \cup \{х_\alpha\}\). [Если \(\theta\) —- система множеств в \(Х\) и \(А\subset Х\), то через \(\theta\restriction А\) обозначим систему \(\{V\cap А: V\in\theta\}\).]
Итак, пусть множества \(\{М_\alpha: \alpha< \tau\}\) и \(\{х_\alpha: \alpha< \tau\}\) построены. Положим \[М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\},\hskip 5pt \lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.\]
Очевидно, \(\lambda\restriction М\) — база пространства \(М\). Утверждаем, что \(w(М)\geq\tau\). Предположим обратное, то есть пусть \(w(М)<\tau\). Тогда существует \(\mu\subset\lambda\), \(|\mu|<\tau\) такое, что \(\mu\restriction М\) — база в \(М\). Однако существует \(\alpha<\tau\) для которого \(\mu\subset\lambda_\alpha\). Но \(\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})\) не база для точки \(х_\alpha\) в пространстве \(М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\), и ввиду того, что \(М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М\), система \(\lambda_\alpha\restriction М\) тем более не является базой точки \(х_\alpha\) в \(М\). Противоречие.
Итак, \(w(М)\geq\tau\). Пусть теперь \(\tau\) — сингулярный кардинал. Положим тогда \(\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau,\ \lambda — \mbox{ регулярный кардинал}\}\). Очевидно, \(\mathcal{P}\neq\emptyset\) и \(|\mathcal{P}|\leq\tau\). Для каждого \(\lambda\in\mathcal{P}\) существует \(М_\lambda\subset X\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и \(w (М_\lambda)\geq\lambda\). Положим \(М=\bigcup\{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}\). Очевидно, \(|М|\leq\tau\) и \(w(М)\geq\tau\). Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть \(Х\) – регулярное пространство. Тогда для каждого \(\lambda\leq w(Х)\) существует \(М_\lambda\subset Х\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и \(w(М_\lambda)\geq\lambda\).
Доказательство. Если \(\chi(Х)<\lambda\), то все следует из леммы 1. Пусть \(\chi(Х)\geq\lambda\). Предположим, что \(w(М)<\lambda\) для любого \(М\subset Х\), удовлетворяющего условию \(|М|\leq\lambda\). Заметим теперь, что если \(М\) — левое, то \(w(М)\geq |М|\) (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства в \(Х\) меньше \(\lambda\) и потому \(\overline{s}(Х)\leq\lambda\). Тем более, \(s(Х)\leq\lambda\). Зафиксируем всюду плотное в \(Х\) множество \(S\), \(|S|\leq\lambda\). В силу регулярности \(Х\), \[\chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\}) \leq w(S\cup \{р\}) < \lambda\] (так как \(|S\cup\{p\}\leq\lambda\)) для любой точки \(р\in Х\). Но \(\chi(Х)\geq\lambda\), поэтому \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\} =\lambda\). Следовательно, существует \(Q\subset Х\), такое, что \(|Q|\leq\lambda\) и \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\}=\lambda\). Тогда, очевидно, \(w(S\cup Q)\geq\lambda\), что противоречит предположению, сделанному в начале доказательства (\(|S\cup Q|\leq\lambda\)).
Теорема 2. Пусть \(Х\) — произвольное пространство. Тогда для любого кардинала \(\lambda\leq w(Х)\) существует \(М_\lambda\subset Х\), такое, что \(|М_\lambda|\leq \lambda\) и внешний вес \(М_\lambda\) в \(Х\) не меньше \(\lambda\).
Доказательство. Заметим, что \(w(М)\) не больше внешнего веса \(М\) в \(Х\) для любого \(М\subset Х\). Поэтому, если \(\chi(Х)<\lambda\), все следует из леммы 1. Пусть \(\chi(Х)\geq\lambda\). Можно считать, что \(\chi(р,Х)<\lambda\), для любой \(р\in Х\). Тогда \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda\). Существует \(Q\subset X\) такое, что \(|Q|\leq \lambda\) и \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda\). Легко видеть, что множество \(Q\) и есть нужное.
Теорема 3. Пусть \(\{Х_\alpha : \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в \(Х\) и \(\Phi\in \{с, \overline{с}, \overline{s}, \overline{ic} \}\). Тогда:
если \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(\Phi(Х)\leq\tau\);
если \(|A|>\tau\) и \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(\Phi(Х)\leq \tau\);
если внешний вес \(Х_\alpha\) в \(Х\) меньше \(\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(w(Х)\leq\tau\); если к тому же \(|А|>\tau\), то \(w(Х)<\tau\).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть \(\Phi=\overline{iс}\) (для других кардинальных функций доказательство пунктов (а) и (б) аналогично). Покажем, что \(|М|\leq\tau\) для любого правого \(М\subset Х\), если \(|А|\leq\tau\). Положим \(М_\alpha= М\cap Х_\alpha\). Тогда \(|М_\alpha|<\tau\) для любого \(\alpha\in А\), так как \(\overline{ic}(Х_\alpha)<\tau\). Однако \(М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}\), поэтому \(|М|\leq\tau\). Пусть \(|A|>\tau\). Если \(\sup\{|М|: М — правое, М\subset Х\}\geq \tau\), то существует семейство \(\mathcal{P}\), состоящее из правых подпространств в \(Х\), такое, что \(|\mathcal{P}|\leq\tau\) и \(\sup \{|М| : М\in\mathcal{P}\}=\tau\). Положим \(N=\bigcup\mathcal{P}\). Тогда \(|N| =\tau\) и \(\overline{ic}(N)\geq\tau\). Однако существует \(\alpha\in А\), такое, что \(N\subset Х_\alpha\); поэтому \(\overline{ic}(Х_\alpha)\geq\tau\). Противоречие. Итак, \(\overline{ic}(Х)<\tau\). Тем самым пункты (а) и (б) доказаны.
Докажем пункт (в). Пусть \(\gamma_\alpha\) — внешняя база \(Х_\alpha\) в \(Х\) и \(|\gamma_\alpha|<\tau\). Тогда \(\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}\) — база в \(Х\). Если \(|А|\leq\tau\), то \(|\gamma|\leq \tau\). Если же \(|А|>\tau\), то внешний вес любого \(М\subset Х\), удовлетворяющего условию \(|М|\leq\tau\), меньше \(\tau\). По теореме 2, \(w(X)<\tau\).
Предложение 1. Пусть \(\{Х_\alpha : \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в хаусдорфовом пространстве \(Х\) и \(\overline{iс}(Х_\alpha)\leq\tau\) для каждого \(\alpha\in А\). Тогда \(|Х|\leq ехр(\tau)\).
Доказательство. Как показано в работе [1], \(|Y|\leq еxp(\overline{iс}(Y))\) для любого хаусдорфова пространства \(Y\). Поэтому \(|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)\) для всех \(\alpha\in А\). Следовательно, если \(|А|\leq\tau^+\), то \(|Х|\leq ехр(\tau)\). Если же \(|А|>\tau^+\), то, по пункту (б) теоремы 3, \(\overline{ic}(Х)\leq\tau\), а потому \(|Х|\leq ехр(\tau)\).
Предложение 2. Для любого \(Х\), \(w(Х)\leq |Х|^{s(Х)}\).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть \(\mathcal{F}\) — система всех замкнутых множеств в \(Х\). Через \(S_F\) обозначим всюду плотное множество в \(F\in\mathcal{F}\), причем \(|S_F|\leq \overline{s}(Х)\). Таким образом, мы получим инъекцию из \(\mathcal{F}\) в \[Ехр_\tau(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq \overline{s}(Х) = \tau\}.\] Поэтому \(|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau\) и, тем более, \(w(Х)\leq |Х|^\tau\).
Теорема 4. Пусть \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в хаусдорфовом пространстве \(Х\), причем \(\overline{ic}(Х_\alpha)\leq\tau\) и \(\overline{s}(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\). Тогда \(w(Х)\leq ехр(\tau)\).
Доказательство. По теореме 3, пункт (а), \(\overline{s}(Х)\leq\tau\). Из предложения 1 вытекает \(|Х|\leq ехр(\tau)\). Предложение 2 дает \[w(Х)\leq |Х|^\tau \leq (ехр(\tau))^\tau = ехр(\tau).\]
С л е д с т в и е. Пусть \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в хаусдорфовом пространстве \(Х\), причем \(nw(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\). Тогда \(w(Х)\leq ехр(\tau)\). Действительно, \(\overline{ic}(Х)\cdot \overline{s}(Х)\leq nw (Х)\) для любого \(Х\).
Пусть \(Y\subset Х\). Внешней плотностью множества \(Y\) в \(Х\) мы называем \(\min \{|М|: М\subset Х и Y\overline{М}\}\). Очевидно, внешняя плотность \(Y\) в \(Х\) не превосходит плотности \(Y\).
Лемма 2. Пусть \(Х\) регулярно и \(s(Х)>\tau\). Тогда существует \(М\subset Х\), такое, что \(|М|\leq (ехр(\tau))^+\) и внешняя плотность \(М\) в \(Х\) больше \(\tau\).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если \(s(Х)\leq (ехр(\tau))^+\), то в качестве \(М\) можно взять всюду плотное в \(Х\) множество минимальной мощности. Если же \(s(Х)> (ехр(\tau))^+\), то в \(Х\) найдется левое подпространство \(М\), \(|М| = (ехр(\tau))^+\). Тогда \(w(М)\geq |М|\). Покажем, что \(М\) – искомое. Действительно, если внешняя плотность \(М\) в \(Х\) не больше \(\tau\), то \(М\subset \overline{N}\) для некоторого \(N\subset Х\), \(|N|\leq\tau\). Поэтому ввиду регулярности \(Х\), \[w(M)\leq w(\overline{N})\leq ехр(\tau).\] Противоречие. Итак, внешняя плотность \(М\) в \(Х\) больше \(\tau\).
Теорема 5. Пусть \(Х\) регулярно и \(\{Х_\alpha : \alpha\in А\}\) — каноническая цепь в \(Х\), причем внешняя плотность \(Х_\alpha\) в \(Х\) не больше \(\tau\) для всех \(\alpha\in А\). Тогда \(s(Х)\leq (ехр(\tau))^+\).
Эта теорема — простое следствие предыдущей леммы. Покажем, что теоремы 4 и 5 улучшить нельзя.
Пример 1 (к теореме 4). Согласно одной из теорем Кунена из работы [3] на любом множестве \(М\) существует однородный ультрафильтр (ультрафильтр на \(М\) называется однородным, если он состоит из множеств той же мощности, что и \(М\)), любая база которого имеет мощность \(ехр(|М|)\). Рассмотрим множество \(М\), \(|М| =\tau\), и описанный выше ультрафильтр \(\xi\) на \(М= \{х_\alpha : \alpha<\tau\}\). Положим \(Х=М\cup \{\xi\}\). Базу топологии в \(Х\) введем так: множество \(М\) открыто и дискретно в \(Х\), а открытые окрестности точки \(\xi\) имеют вид \(\{\xi\}\cup К\), где \(K\in\xi\). Тогда \[w(Х) = ехр(\tau) и Х = \bigcup\{Х_\alpha : \alpha< \tau\},\] где \(Х_\alpha = \{\xi\}\cup \{х_\beta : \beta<\alpha\}\). Очевидно, \(|Х_\alpha|<\tau\) и \(Х_\alpha\) дискретно, поэтому \(w(Х_\alpha)<\tau\). Заметим, что пространство \(Х\) нормально.
Вопрос 1. Можно ли требование регулярности \(Х\) в теореме 1 ослабить до хаусдорфовости? Тот же вопрос поставим относительно леммы 2.
Вопрос 2. Можно ли в предположениях теоремы 5 утверждать, что \(w(Х)\leq ехр(ехр(\tau))\)?
В о п р о с 3. Можно ли бикомпактность пространства \(Х\) в теореме 6 ослабить до регулярности (хаусдорфовости)?
Автор глубоко признателен своему руководителю профессору А.В. Архангельскому за постановку задачи и постоянную помощь.
ЛИТЕРАТУРА
1. Juhаsz I. Cardinal Functions in Topology. Math. Сеntrе Тrасts, 34. Amsterdam, 1971.
2. Наjnаl А., Juhаsz I. Оп hereditarily \(\alpha\)-sеpаrаblе and \(\alpha\)-Lindelöf spaces. Annales Univ. Sci. Budapest 11, 1968, 115–124.
3. Кunеn К. Ultrafilters and independent sets. Tгans. Аmеr. Math. Sос., 172, 1972; 299–306.
4. Архангельский А.В. Об бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслинa наследственно. Теснота и свободные последовательности. Докл. АН СССР, 199, No. 6, 1971; 1227–1230.
5. Архангельский А.В. О мощности бикомпактов, удовлетворяющих 1-й аксиоме счетности. Докл. АН СССР, 187, No. 5, 1969; 967–970.
6. Шапировский Б.Э. О вложении экстремально-несвязных пространств в биком- пакты. b-точки и вес коллективно нормальных пространств. Докл. АН СССР, 223, No. 5, 1975; 1083–1086.
7. Шапировский Б.Э. Канонические множества и характер. Плотность и вес в бикомпактах. Докл. АН СССР, 218, No. 1, 1974; 58–61.
8. Малыхин В.И., Шапировский Б.Э. Аксиома Мартина и свойства топологических пространоств. Доkл. АН СССР, 213, No. 3, 1973; 532–535.
Поступила в редакцию
16.11 1976 г.
Кафедра
высшей геометрии и топологии