ROUGH DRAFT authorea.com/62112
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  • 證明常見錯誤:以一次基數小考為例

    這篇短文,想藉由一次小考的題目來點出大家在寫證明題時常見的錯誤;由於每個人的寫法不盡相同,這邊所提的只是一個大方向,請大家自行判斷文章所指出的,是否就是自己曾經犯過的錯誤。

    是非題

    是非題答題方式很簡單:對的給證明,錯的給反例;但也是最難寫的題型,因為判斷對錯本身就不是一件容易的事。撇除這個部份不談,是非題比較容易犯的,嚴格來說不是錯,而是寫法上失焦。我們來看底下這個例子。

    • If \(x\) and \(y\) are integers of the same parity, then \(xy\) and \((x+y)^2\) are of the same parity. (Two integers are of the same parity if they are both odd or both even.)

    這個命題是錯的,所以我們只需要給一個反例即可。

    Solution.
    Let \(x = y = 1\). Then \(x\) and \(y\) are of the same parity. However, \(xy = 1\) and \((x+y)^2 = 4\) are of distinct parities. \(\square\)

    有的同學將\(x, y\)同為奇數和同為偶數的情形分別討論一下,然後得到第一種情形與命題的結論不合,代表命題為非。這樣當然不是不行,只是多了一堆不必要的討論罷了。

    運算元混淆

    第二種常見的錯誤,就是把運算元搞混;例如將集合的減法和實數的減法混淆在一起。

    • Let \(A\) and \(B\) be two sets. If \(A \setminus B = B \setminus A\), then \(A \setminus B = \varnothing\).

    這個命題為真,所以我們必須給予證明;常見的錯誤寫法為使用了 \[A \setminus C = B \setminus C \quad \Rightarrow \quad A = B\] 這種論證。

    (錯誤寫法)
    Since \(A \setminus B = A \setminus (A \cap B)\) and \(B \setminus A = B \setminus (A \cap B)\), we have \[\begin{aligned} A \setminus (A \cap B) = B \setminus (A \cap B) \quad \Rightarrow \quad A = B \quad \Rightarrow \quad A \setminus B = \varnothing\end{aligned}\]

    集合的減法英文為difference,而實數的減法英文是minus,從字面上即可得知這是兩種不同的運算規則,因此 \[a - c = b - c \quad \Rightarrow \quad a = b\] 這種推論並不適用於集合。如果我們讓\(A = \{1, 2, 3\}\)\(B = \{1, 2\}\)以及\(C = \{3\}\);則\(A \setminus C = B \setminus C\)\(A \neq B\)。正確作法如下。

    Proof.
    Suppose that \(A \setminus B \neq \varnothing\). Let \(x \in A \setminus B\). Then \(x \in A\) but \(x \notin B\). Since \(A \setminus B = B \setminus A\), it is seen that \(x \in B\) but \(x \notin A\). This shows that \(x \in A\) and \(x \notin A\), which is a contradiction. Hence \(A \setminus B = \varnothing\). \(\square\)

    說明不夠嚴謹

    這大概是最常見的問題,也是最不容易拿捏的地方。說明是否足夠嚴謹,其標準因人而異,但無論如何,寫得詳細些至少不會出錯。若以考試的觀點,大原則就是:只要是課本或課堂上沒出現過的命題,就必須給予證明。

    • For every positive irrational number \(b\), there is an irrational number \(a\) such that \(0 < a < b\).

    這一題很簡單,大多數的同學會直接取\(a = \frac{b}{2}\),接著就證明完畢。當然,\(0 < a < b\)的部分並沒有太大的疑義;但\(a\)是否為無理數就需要驗證了,請千萬不要漏了這個部分。

    倒因為果

    另外一種常見的錯誤,則是把要證明的結論當已知,然後推出一個恆真的結論。底下我們舉一個例子。

    • \(n^3 + 1 > n^2 + n\) for every integer \(n \geq 2\).

    (錯誤寫法)
    Suppose that \(n^3 + 1 > n^2 + n\) for every integer \(n \geq 2\). Then \[\begin{aligned} n^3 + 1 > n^2 + n \quad &\Rightarrow \quad n^3 + 1 - n^2 - n > 0 \\ &\Rightarrow \quad n^2(n-1) - (n-1) > 0 \\ &\Rightarrow \quad (n-1)(n^2-1) > 0 \\ &\Rightarrow \quad (n-1)^2 (n+1) > 0\end{aligned}\] The last inequality is always true for every integer \(n \geq 2\). \(\square\)

    雖然上面這個作法不對,但卻不是完全無用,因為它指點了一條正確證明的路。正確的作法應該從最後一行往回寫,這樣就沒問題了。換句話說,上面這種錯誤的做法,其實是正確證明的思考過程,只是需要正確的使用就是了。

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