ROUGH DRAFT authorea.com/110599
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  • 淺談極座標繪圖

    本文旨在用最精簡的方式介紹極座標參數式的繪圖方法,所針對的情形為微積分課本中常見的範例,不見得適用於一般的通式。希望大家在閱讀完畢之後,能對極座標繪圖有初步的概念。底下我們針對\(r = 2 \cos 3 \theta\)這個參數式的作圖來說明。

    Step 1. 決定\(\theta\)的範圍。微積分課本中常見的範例,其圖形大多為週期,也就是說,我們只需要考慮有限的\(\theta\)範圍即可繪出完整的圖形。要決定\(\theta\)的範圍,首先得將\(f(\theta) = 2 \cos 3 \theta\)的圖形給描繪出來。 圖1

    上圖中,\(x\)軸的刻度是以\(\dfrac{\pi}{6}\)為單位,可以看到的是,我們將前兩個週期的圖形分別給了由(1)到(8)的編號。為什麼我們要這樣編號呢?因為從(1)到(2)的過程中,\(r\)經歷了由正轉負,而(3)到(4)則是由負轉正;這邊要小心一個地方:因為\(x = r \cos \theta\)\(y = r \sin \theta\),所以\(\theta\)的範圍也會影響描點時的相對位置。編號(1)到(3)對應到的\(\theta\)範圍分別為\(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]\)\(\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right]\)\(\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\right]\)\(\theta\)位於第一象限,因此\(x\)-\(y\)的相對位置完全由\(r\)的正負號決定。而(4)到(6)對應到的\(\theta\)範圍分別為\(\left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{2\pi}{3}\right]\)\(\left[\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}\right]\)\(\left[\dfrac{5\pi}{6}, \pi\right]\),此時\(\theta\)位於第二象限,因此\(y\)的座標與\(r\)的正負號正好相反。

    我們可以觀察到,(7)、(8)兩個區域的\(\theta\)正好與(1)、(2)兩個區域的\(\theta\)相差\(\pi\),而且\(r\)的正負號也恰恰相反;換言之,(7)的圖形會重複(1)的圖形,而(8)的圖形會重複(2)的圖形。因此,我們可以得到底下這個結論:極座標參數式\(r = 2 \cos 3 \theta\)的圖形,其\(\theta\)的範圍為\([0, \pi]\),且可細分為六個區域繪圖。

    Step 2. 匯出具有代表性的參考點。這些參考點,基本上就是步驟一當中所得到的六個區域的端點,將這七個點在座標平面標示出來後,圖形也就呼之欲出了。

    Step 3. 描繪最終圖形。將步驟二的參考點依序連接,即可得到最終我們所要的圖形。 圖2

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