ROUGH DRAFT authorea.com/64958
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Abstract

    О ПОВЕДЕНИИ КАРДИНАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ ПРИ ВЗЯТИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ ЦЕПИ ПРОСТРАНСТВ

    М.Г. Ткаченко

    Поступила в редакцию 16.11 1976 г.

    Кафедра высшей геометрии и топологии

    Пусть \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\) – каноническая цепь в \(Х\) и \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для каждого \(\alpha\in А\), где \(\Phi\) – кардинальная функция, определенная на классе топологических пространств. Что тогда можно сказать о значении \(\Phi(Х)\)? Этот вопрос рассматривается в статье.

    Через \(w(Х)\), \(nw(Х)\) и \(\pi w(Х)\) обозначены вес, сетевой вес и \(\pi\)-вес пространства \(Х\) соответственно; \(d(Х)\) и \(L(Х)\) – плотность и число Линделефа пространства \(Х\). Через \(t(Х)\), \(ш(Х)\), \(с(Х)\), \(\chi(Х)\) и \(\psi(Х)\) мы обозначаем тесноту, число Шанина, число Суслина, характер и псевдохарактер \(Х\), соответственно.

    Пусть \(\Phi\) – какая-то кардинальная функция. Положим по определению \[h\Phi(Х) = \sup\{\Phi(М): М\subset Х\}.\] Кардиналы отождествляем с соответствующими ординалами. Через \(|А|\) обозначаем мощность множества \(А\). Напомним, что пространство \(М\) называется правым (левым), если существует вполне-упорядочение \(<\) на \(М\), такое, это множество \(\{у\in М: у\leq х\}\) (\(\{у\in М: х\leq у\}\)) открыто в \(М\) для каждого \(х\in М\).

    В работе [1] показано, что \[hd(Х) = \sup\{|М|: М\subset Х,\ М \mbox{ левое}\}\] и \[hL(Х) = \sup \{|М| : М\subset Х,\ М \mbox{ правое}\}.\]

    Следовательно, если \(hd(Х) =\tau\) (или \(hL(Х) =\tau\)), то для каждого \(\lambda<\tau\) найдется левое (правое) \(М\subset Х\), такое, что \(|М|=\lambda\). Это замечание будем использовать в дальнейшем.

    Определение 1. Мы говорим, что пространство \(Х\) представлено в виде объединения цепи своих подпространств \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\), если \((А, <)\) – линейно-упорядоченное множество, \(Х_\alpha\subset Х_\beta\) при \(\alpha<\beta\) и \(Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\).

    Определение 2. Цепь \(\mathcal{С}= \{Х_\alpha: \alpha\in В\}\) подпространств в \(Х\) называется канонической, если выполнены условия:

    1. \((В,<)\) – множество ординалов, меньших \(|В|\);

    2. если \(\alpha,\beta\in B\) и \(\alpha<\beta\), то \(Х_\alpha\subset Х_\beta\) (строгое включение);

    3. \(|В|\) – регулярный кардинал;

    4. \(Х= \bigcup\{Х_\alpha: \alpha\in В\}\).

    Заметим теперь, что если \(Х\) представлено в виде объединения цепи подпространств \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\), то существует \(В\subset А\), такое, что \(\{Х_\alpha: \alpha\in B\}\) – каноническая цепь в \(Х\). Поэтому в дальнейшем все представления пространств в виде объединения цепи подпространств будем считать каноническими.

    Лемма 1. Пусть \(Х\) – пространство и \(\tau\) – кардинал, такой, что \(\chi(Х)< \tau\) и \(w(Х)\geq\tau\). Тогда существует \(М\subset Х\), такое, что \(|М|\leq\tau\) и \(w(М)\geq\tau\).

    Доказательство. Пусть \(\tau\) – регулярный кардинал. Через \(\gamma_х\) oбозначим базу точки \(х\in Х\), \(|\gamma_х|<\tau\). Точку \(х_0\in Х\) выберем произвольно и положим \(М_0=\emptyset\). Пусть определены точка \(х_\beta\) и множество \(М_\beta\) для всех \(\beta<\alpha\), где \(\alpha<\tau\), причем \(|М_\beta|<\tau\). Положим \[A_\alpha =\bigcup \{М_\beta: \beta<\alpha\}\cup \{х_\beta: \beta<\alpha\}\] и \[\lambda_\alpha = \bigcup\{\gamma_х: х\in А_\alpha\}.\] Очевидно, \(|А_\alpha| < \tau\) и поэтому \(\lambda_\alpha|< \tau\). Отсюда следует, что найдутся точка \(х_\alpha\in Х\) и ее открытая окрестность \(V(х_\alpha)\), такие, что \[О \cap (Х\setminus V(х_\alpha))\neq \emptyset\] для всех \(O\in\lambda(х_\alpha)\). [Пусть \(\theta\) – система множеств в \(Х\) и \(х\in Х\). Через \(\theta(х)\) обозначим подсистему \(\{V\in\theta: х\in V\}\) системы \(\theta\).] Для каждого \(O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)\) из множества \(O\cap (Х\setminus V(х_\alpha))\) выберем точку. Полученное множество обозначим через \(М\). Очевидно, \(|M_\alpha| < \tau\). Заметим, что \(х_\alpha\notin cl_X M_\alpha\) и \(O\cap М_\alpha\neq \emptyset\) для всех \(O\in \lambda_\alpha(х_\alpha)\), поэтому \(\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha\cup \{х_\alpha\})\) не является базой точки \(х_\alpha\) в пространстве \(М_\alpha \cup \{х_\alpha\}\). [Если \(\theta\) —- система множеств в \(Х\) и \(А\subset Х\), то через \(\theta\restriction А\) обозначим систему \(\{V\cap А: V\in\theta\}\).]

    Итак, пусть множества \(\{М_\alpha: \alpha< \tau\}\) и \(\{х_\alpha: \alpha< \tau\}\) построены. Положим \[М= \bigcup \{М_\alpha: \alpha< \tau\} \cup \{х_\alpha: \alpha<\tau\}\] и \[\lambda= \bigcup \{\gamma_х: х\in М\}.\]

    Очевидно, \(\lambda\restriction M\) — база пространства \(M\). Утверждаем, что \(w(М)\geq\tau\). Предположим обратное, то есть пусть \(w(М)<\tau\). Тогда существует \(\mu\subset\lambda\), \(|\mu|<\tau\) такое, что \(\mu\restriction M\) – база в \(М\). Однако существует \(\alpha<\tau\) для которого \(\mu\subset\lambda_\alpha\). Но \(\lambda_\alpha\restriction (М_\alpha \cup \{х_\alpha\})\) не база для точки \(х_\alpha\) в пространстве \(М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\), и ввиду того, что \(М_\alpha\cup \{х_\alpha\}\subset М\), система \(\lambda_\alpha\restriction M\) тем более не является базой точки \(х_\alpha\) в \(M\). Противоречие.

    Итак, \(w(М)\geq\tau\). Пусть теперь \(\tau\) – сингулярный кардинал. Положим тогда \[\mathcal{P} = \{\lambda: \chi(Х)<\lambda<\tau,\ \lambda - \mbox{ регулярный кардинал}\}.\] Очевидно, \(\mathcal{P}\neq\emptyset\) и \(|\mathcal{P}|\leq\tau\). Для каждого \(\lambda\in\mathcal{P}\) существует \(М_\lambda\subset X\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и \(w (М_\lambda)\geq\lambda\). Положим \(М=\bigcup \{М_\lambda: \lambda\in\mathcal{P}\}\). Очевидно, \(|М|\leq\tau\) и \(w(М)\geq\tau\). Лемма доказана.

    Теорема 1. Пусть \(Х\) – регулярное пространство. Тогда для каждого \(\lambda\leq w(Х)\) существует \(М_\lambda\subset Х\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и \(w(М_\lambda)\geq\lambda\).

    Доказательство. Если \(\chi(Х)<\lambda\), то все следует из леммы 1. Пусть \(\chi(Х)\geq\lambda\). Предположим, что \(w(М)<\lambda\) для любого \(М\subset Х\), удовлетворяющего условию \(|М|\leq\lambda\). Заметим теперь, что если \(M\) – левое, то \(w(М)\geq |М|\) (см. [2]); следовательно, мощность любого левого подпространства в \(Х\) меньше \(\lambda\) и потому \(hd(Х)\leq\lambda\). Тем более, \(d(Х)\leq\lambda\). Зафиксируем всюду плотное в \(Х\) множество \(S\), \(|S|\leq\lambda\). В силу регулярности \(Х\), \[\chi(р, Х) = \chi(р,S\cup \{р\})\leq w(S\cup \{р\}) < \lambda\] (так как \(|S\cup\{p\}\leq\lambda\)) для любой точки \(р\in Х\). Но \(\chi(Х)\geq\lambda\), поэтому \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Х\} =\lambda\). Следовательно, существует \(Q\subset Х\), такое, что \(|Q|\leq\lambda\) и \(\sup \{\chi(р,Х): р\in Q\}=\lambda\). Тогда, очевидно, \(w(S\cup Q)\geq\lambda\), что противоречит предположению, сделанному в начале доказательства, так как \(|S\cup Q|\leq\lambda\).

    Теорема 2. Пусть \(Х\) – произвольное пространство. Тогда для любого кардинала \(\lambda\leq w(Х)\) существует \(М_\lambda\subset Х\), такое, что \(|М_\lambda|\leq\lambda\) и внешний вес \(М_\lambda\) в \(Х\) не меньше \(\lambda\).

    Доказательство. Заметим, что \(w(М)\) не больше внешнего веса \(М\) в \(Х\) для любого \(М\subset Х\). Поэтому, если \(\chi(Х)<\lambda\), все следует из леммы 1. Пусть \(\chi(Х)\geq\lambda\). Можно считать, что \(\chi(р,Х)<\lambda\), для любой \(р\in Х\). Тогда \(\sup\{\chi(р,Х): р\in Х\}= \lambda\). Существует \(Q\subset X\) такое, что \(|Q|\leq\lambda\) и \(\sup\{\chi(р,Х): р\in Q\} = \lambda\). Легко видеть, что множество \(M_\lambda=Q\) и есть нужное.

    Теорема 3. Пусть \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\) – каноническая цепь в \(Х\) и \(\Phi\in \{с, hс, hd, hL \}\). Тогда:

    1. если \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(\Phi(Х)\leq\tau\);

    2. если \(|A|>\tau\) и \(\Phi(Х_\alpha)<\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(\Phi(Х)\leq \tau\);

    3. если внешний вес \(Х_\alpha\) в \(Х\) меньше \(\tau\) для всех \(\alpha\in А\), то \(w(Х)\leq\tau\); если к тому же \(|А|>\tau\), то \(w(Х)<\tau\).

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть \(\Phi=hL\) (для других кардинальных функций доказательство пунктов (а) и (б) аналогично). Покажем, что \(|М|\leq\tau\) для любого правого \(М\subset Х\), если \(|А|\leq\tau\). Положим \(М_\alpha=М\cap Х_\alpha\). Тогда \(|М_\alpha|<\tau\) для любого \(\alpha\in А\), так как \(hL(Х_\alpha)<\tau\). Однако \(М=\bigcup\{М_\alpha: \alpha\in А\}\), поэтому \(|М|\leq\tau\). Пусть \(|A|>\tau\). Если \(\sup\{|М|: М - \mbox{ правое, } М\subset Х\}\geq \tau\), то существует семейство \(\mathcal{P}\), состоящее из правых подпространств в \(Х\), такое, что \(|\mathcal{P}|\leq\tau\) и \(\sup \{|М|: М\in\mathcal{P}\}=\tau\). Положим \(N=\bigcup\mathcal{P}\). Тогда \(|N| =\tau\) и \(hL(N)\geq\tau\). Однако существует \(\alpha\in А\), такое, что \(N\subset Х_\alpha\); поэтому \(hL(Х_\alpha)\geq\tau\). Противоречие. Итак, \(hL(Х)<\tau\). Тем самым пункты (а) и (б) доказаны.

    Докажем пункт (в). Пусть \(\gamma_\alpha\) – внешняя база \(Х_\alpha\) в \(Х\) и \(|\gamma_\alpha|<\tau\). Тогда \(\gamma=\bigcup\{\gamma_\alpha: \alpha\in А\}\) – база в \(Х\). Если \(|А|\leq\tau\), то \(|\gamma|\leq\tau\). Если же \(|А|>\tau\), то внешний вес любого \(М\subset Х\), удовлетворяющего условию \(|М|\leq\tau\), меньше \(\tau\). По теореме 2, \(w(X)<\tau\).

    П р е д л о ж е н и е 1. Пусть \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\) – каноническая цепь в хаусдорфовом пространстве \(Х\) и \(hL(Х_\alpha)\leq\tau\) для каждого \(\alpha\in А\). Тогда \(|Х|\leq ехр(\tau)\).

    Доказательство. Как показано в работе [1], \(|Y|\leq еxp(hL(Y))\) для любого хаусдорфова пространства \(Y\). Поэтому \(|Х_\alpha|\leq ехр(\tau)\) для всех \(\alpha\in А\). Следовательно, если \(|А|\leq\tau^+\), то \(|Х|\leq ехр(\tau)\). Если же \(|А|>\tau^+\), то, по пункту (б) теоремы 3, \(hL(Х)\leq\tau\), а потому \(|Х|\leq ехр(\tau)\).

    Предложение 2. Для любого \(Х\), \(w(Х)\leq |Х|^{d(Х)}\).

    Доказательство. Пусть \(\mathcal{F}\) – система всех замкнутых множеств в \(Х\). Через \(S_F\) обозначим всюду плотное множество в \(F\in\mathcal{F}\), причем \(|S_F|\leq hd(Х)\). Таким образом, мы получим инъекцию из \(\mathcal{F}\) в \[Ехр_{\tau}(Х) = \{М\subset Х: |М|\leq \tau\}.\] Поэтому \(|\mathcal{F}|\leq |Х|^\tau\) и, тем более, \(w(Х)\leq |Х|^\tau\).

    Теорема 4. Пусть \(\{Х_\alpha: \alpha\in А\}\) – каноническая цепь в хаусдорфовом пространстве \(Х\), приче