ROUGH DRAFT authorea.com/55919
Main Data History
Export
Show Index Toggle 7 comments
  •  Quick Edit
  • De ce universul este creat

    Introducere

    Un creștin știe că Universul este creat de Dumnezeu. Totuși, pentru că există și oameni care cred că nu există un Creator și, deci, că Universul nu este creat, am să încerc să analizez ce ar însemna acest lucru și cum ar arăta un astfel de univers (numit univers posibil mai jos).11O întrebare bună este dacă există mai multe universuri independente. Dacă universul nostru este creat, depinde de Creator. Dacă presupunem că universul nostru nu este creat, implicit ar trebui să considerăm că există mai multe universuri, fiecare cu legile lui, pentru că aproape oricare ar fi motivul ca universul nostru să existe, probabil că există și alte universuri din același motiv. Dacă universul nostru există fără motiv, atunci nici celelalte universuri nu au nevoie de motiv pentru a exista, deci probabil că există și ele. Totuși, cred că argumentul prezentat este interesant în ambele cazuri, și când există mai multe universuri, și când există unul singur. Voi încerca și să fac o predicție bazată pe faptul că nu este creat.

    În primul rând, cum ar arăta un univers creat? Pentru un creștin trebuie să fie un univers în care să existe ființe raționale (oameni) și care poate fi studiat și înțeles de acestea, etc. Însă, în general, un univers creat ar putea fi oricum vrea creatorul lui, probabil optimizat pentru un anumit scop. Pentru a putea face o predicție, ar trebui să ne fie suficient de clare intențiile celui ce l-a creat.

    Cum ar arăta un univers necreat? Psihologic este greu să ne desprindem de imaginea acestei lumi, dar să presupunem că suntem niște ființe raționale care nu au un concept de univers și care nu pot observa nimic în jurul lor, iar acum încercăm să vedem cum ar putea arăta un univers. O primă idee rezonabilă ar fi că un univers ar putea fi complet opac rațiunii, nu am putea descrie legile după care funcționează și n-am putea spune nimic interesant despre el. Dar aparent un univers poate fi înțeles rațional în măsura în care este modelabil matematic.

    Atunci, și grupul \(\mathbb{Z}_{2}\) ar putea fi un astfel de univers. Însă universurile în care nu există ființe raționale nu sunt foarte interesante, pentru că nu știe nimeni de existența lor (dacă ar ști cineva aflat într-un univers în afara unui astfel de univers, atunci ambele universuri ar forma un singur univers mare).

    Unul din cele mai simple universuri în care ar putea exista ceva rațional este o mașină Turing. Nu este clar dacă o astfel de mașină este suficientă pentru a avea rațiune, dar poate produce cam tot ce înseamnă matematică, ceea ce e destul de mult.

    Să ne îndreptăm atenția asupra unei mulțimi restrânse de universuri, în care avem un spațiu real tridimensional, în care avem un concept de timp și în care avem niște obiecte fundamentale (funcții \(f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{C}\)) care „populează” acest spațiu. Să zicem că funcțiile sunt asemănătoare funcțiilor de undă din mecanica cuantică modernă. Cuvântul „asemănătoare” este vag, poate ar trebui clarificat, dar deocamdată este suficient și atât.

    Să presupunem că există o mulțime (posibil infinită) de tipuri și că fiecare obiect din spațiu are un tip. Intenția este ca tipul să fie ceva de genul „electron”, „foton”, etc. Să presupunem și că obiectele interacționează după niște reguli, iar regulile sunt date doar de tipul obiectelor. Ca mai sus, regulile vor fi suficient de asemănătoare cu cele din mecanica cuantică.

    Unii ar putea considera exagerat faptul că orice model poate fi un univers. Eu cred că acest lucru nu este rezonabil, dar, chiar și așa, ultima variantă de universuri posibile descrisă mai sus cred că este destul de rezonabilă.

    Am vorbit de „tipuri” mai sus, unde un tip este ceva de genul „electron” și de reguli de interacțiune între tipuri. Voi încerca să clarific conceptele.

    Un obiect concret la un moment din timp este definit de două lucruri: de tip și de o funcție „de bază” \(f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{C}\). Cunoscând toate obiectele din univers la un moment dat \(t\), cu tipurile și funcțiile lor, folosind regulile de interacționare între tipuri, trebuie să putem prezice (cel puțin în mod teoretic) cum vor arăta obiectele la momentul \(t+\Delta\). Cu alte cuvinte, regulile de interacționare între tipuri acoperă complet comportamentul obiectelor.

    Această explicație este mai mult intuitivă și nu este clar ce este inclus în tip și ce nu. Spre exemplu, intuitiv, ar fi clar că „foton” și „electron” sunt două tipuri și că funcția concretă ar trebui să fie funcția de undă a particulei, \(f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{C}\), dar la fel de bine am putea considera că avem un singur tip de particule numit „foton sau electron” iar funcția concretă ar fi de tipul \(f:\mathbb{R}^{3}->\mathbb{C}\times\{\mbox{foton, electron}\}\), punând condiția ca ultima componentă a lui \(f(x_{1},\dots,x_{n})\) să fie constantă pentru o funcție \(f\) dată. Această funcție nu este de tipul cerut mai sus, dar probabil există trucuri pentru a o transforma într-o astfel de funcție.

    De asemenea, în loc să unim mai multe tipuri într-unul, am putea avea un număr infinit de tipuri de entități de genul „foton cu energia \(x\)”.

    Nu voi rezolva complet această ambiguitate, dar voi pune câteva restricții care o limitează. În primul rând, cred că este rezonabil să cer ca descrierea unui tip sau a unei interacțiuni între tipuri trebuie să poată fi dată printr-un număr finit de propoziții (vezi mai jos ce înseamnă). Apoi, dacă legile unui univers pot fi descrise în mai multe feluri, aleg descrierea cea mai scurtă (cu cardinalul mulțimii propozițiilor cel mai mic, detalii mai jos; dacă sunt mai multe astfel de descrieri, aleg una din ele).

    O altă problemă ar fi că constantele fundamentale ale unui univers pot fi numere reale, imposibil de descris într-un mod finit. Vom lucra însă doar cu acele constante care pot fi descrise în mod finit. Noi nu vom putea face, practic, diferența între o constantă imposibil de descris într-un mod finit și o aproximare suficient de bună a ei cu un număr (să zicem) rațional, așa că această constrângere nu ne afectează prea mult.22Nu este neapărat ușor de văzut că e așa, dar reflectând un pic asupra construcției de mai jos, ar trebui să fie destul de clar.

    Puțină statistică

    Pentru orice distribuție continuă, măsura oricărei mulțimi numărabile este zero. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a alege un număr din acea mulțime este zero33Vezi de exemplu http://www.math.uah.edu/stat/dist/Continuous.html. Spre exemplu, dacă intervalul de timp dintre două particule emise de un material radioactiv este într-adevăr aleator și poate fi orice număr real, atunci, fiind date două particule consecutive emise, putem fi siguri că intervalul de timp dintre ele nu va fi un număr întreg de secunde.

    Dar, deoarece și mulțimea numerelor raționale este numărabilă, în mod sigur nu putem reprezenta acel interval ca un număr rațional de secunde (chiar dacă, în mod practic, noi l-am putea măsura doar ca un număr rațional). Dacă încercăm să extindem această mulțime incluzând și numerele pe care le obținem folosind radicali, adunări, scăderi, înmulțiri și numere raționale, obținem to o mulțime numărabilă. Dacă include și toate numerele algebrice (soluții ale unor ecuații \(P(x)=0\) unde \(P\) este un polinom cu coeficienți raționali), obținem tot o mulțime numărabilă. Mai mult, mulțimea tuturor numerelor reale pe care le putem defini cu un număr finit de cuvinte (care include și numere transcedentale ca \(\pi\) și \(e\)) este numărabilă.

    Cu alte cuvinte, putem fi siguri că intervalul de timp nu poate avea o definiție (finită). Putem însă spune unele lucruri despre acel interval de timp astfel încât să avem șanse să fie adevărate, de genul „prima cifră după virgulă este \(2\)”.

    Tratare semi-matematică

    Deși o parte destul de mare a problemei este modelată matematic, totuși rămân și părți care nu sunt. Din acest motiv am și folosit „Argument” în loc de „Demonstrație”. Întrebarea este dacă argumentele aduse sunt solide din punct de vedere rațional, nu dacă absolut totul este perfect din punct de vedere matematic. Poate în viitor, pentru a face lucrurile mai clare, voi separa partea matematică.

    O descriere a unui univers posibil este dată de o serie finită de axiome care descriu spațiiile folosite (\(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\), etc.) plus un număr posibil infinit de axiome care descriu:

    1. 1.

      tipurile obiectelor;

    2. 2.

      funcțiile de undă posibile pentru fiecare tip;

    3. 3.

      regulile prin care entitățile interacționează.

    Axiomele care descriu un tip, funcțiile de undă pentru un tip și interacțiunile între două tipuri date trebuie să fie în număr finit, dar putem avea un număr infinit de tipuri. Vom presupune că numărul de tipuri este cel mult numărabil, dar acest lucru nu este esențial.

    În continuare vom presupune că aceste mulțimi de axiome sunt necontradictorii.

    Pentru a nu fi limitați de descrieri complet matematice, am putea face aceste descrieri pornind de la concepte simple, să zicem concepte pe care le poate înțelege un om obișnuit fără facultate, ajungând la idei oricât de complexe. Evident, o astfel de descriere ar putea include o definiție axiomatică a unor ramuri ale matematicii, a mulțimi numerelor reale, etc. Însă aceste descrieri nu ar aduce nimic nou în construcția de mai jos, lipsind-o în schimb de precizie.

    O altă problemă este că într-un astfel de univers ar putea exista lucruri imposibil de descris. În particular, un creștin crede că așa ceva există, deși e posibil să existe în afara a ceea ce majoritatea oamenilor consideră a fi universul curent. Însă nu cred că aceasta schimbă concluziile finale.

    Un univers posibil care corespune unei descrieri \(D\) date este dat de o mulțime de funcții de undă pentru fiecare moment din timp, care funcții respectă regulile de interacțiune date (pentru simplitatea prezentării vom ignora faptul că momentele din timp pentru poziții diferite din spațiu nu sunt neapărat total ordonate).

    Două tipuri de entități sunt conectate dacă interacționează între ele.

    Două descrieri sunt echivalente dacă există un izomorfism bijectiv între universurile uneia și universurile celeilalte.

    Dacă \(M\) este mulțimea descrierilor de universuri, atunci \(M\) poate fi pusă în bijecție cu mulțimea numerelor reale \(\mathbb{R}\).

    Fie \(A\) mulțimea posibilelor propoziții despre un univers. \(A\) este numărabilă. \(M\) este inclusă în mulțimea submulțimilor lui \(A\), deci \(M\) are cel mult același cardinal cu \(\mathbb{R}\). Deoarece avem o mulțime numărabilă de propoziții \(P=\{a=a,b=b,\dots\}\), pe care le putem adăuga și scoate din orice mulțime din \(M\) fără a schimba descrierea, atunci cardinalul lui \(M\) este mai mare decât cel al mulțimii submulțimilor lui \(P\), care are același cardinal cu \(\mathbb{R}\).

    Această afirmație nu ne spune însă foarte mult, pentru că, așa cum se vede din demonstrație, avem un număr infinit de descrieri echivalente pentru fiecare univers. Următoarea propoziție spune însă ceva mai consistent:

    Dacă \(L\) este mulțimea claselor de echivalență a descrierilor de universuri, atunci \(L\) este în bijecție cu \(\mathbb{R}\).

    În acest argument, dacă \(E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}\) sunt niște tipuri de entități, nu neapărat distincte, iar \(I_{1,2},I_{3,4}\) sunt regulile de interacțiune între \(E_{1},E_{2}\) respectiv \(E_{3},E_{4}\), atunci spunem că \(I_{1,2}\) și \(I_{3,4}\) sunt neechivalente dacă descrierea formată din \(E_{1},E_{2},I_{1,2}\) nu este echivalentă cu descrierea formată din \(E_{3},E_{4},I_{3,4}\). Putem cere ceva mai puternic decât neechivalența, spre exemplu \(I_{1,2}\) și \(I_{3,4}\) ar putea fi bazate pe polinoame de grade diferite.

    Evident, există un șir infinit de tipuri de entități \(E_{1},E_{2},\dots\) și reguli de interațiune \(I_{ij}\), toate neechivalente (sau „puternic neechivalente”, ca mai sus), astfel încât pentru orice \(k\), \(E_{k}\) interacționează cu mulțimile precedente \(E_{1},\dots,E_{k-1}\), iar \(I_{ij}\) descrie cum interacționează \(E_{i}\) cu \(E_{j}\). Ca o paranteză, aceasta înseamnă că interacțiunile se pot descrie pentru perechi de \(E_{i}\)-uri și nu e nevoie să considerăm triplete, de exemplu.

    Putem alege aceste \(E\)-uri și \(I\)-uri astfel încât sunt independente în sensul independenței unor axiome, adică, de exemplu, nicio interacțiune \(I_{ij}\) și nici negata ei nu se pot deduce din cele precedente.

    Atunci orice submulțime de tipuri de entități împreună cu regulile de interacțiune care li se aplică descrie o clasă de universuri diferită de celelalte și se află într-o clasă de echivalență diferită.

    Mulțimea submulțimilor unei mulțimi numărabile este în bijecție cu \(\mathbb{R}\), deci mulțimea claselor de echivalență ale universurilor posibile este în bijecție cu \(\mathbb{R}\).

    Notație. Fie \(F\) mulțimea descrierilor necontradictorii finite de universuri.

    \(F\) este cel mult numărabilă.

    Mulțimea literelor unui limbaj este finită. Mulțimea secvențelor de litere de lungime cel mult \(k\) este finită. Mulțimea secvențelor de litere de lungime finită este reuniunea după \(k\) a mulțimilor de secvențe de lugime cel mult \(k\), deci este numărabilă. Mulțimea cuvintelor este o submulțime a acesteia, deci este cel mult numărabilă.

    Mulțimea secvențelor de cuvinte de lungime cel mult \(k\) este cel mult numărabilă. Mulțimea secvențelor de cuvinte de lungime finită este o reuniune de mulțimi cel mult numărabilă, deci este numărabilă. O descriere finită este o secvență de lugime finită de cuvinte, deci mulțimea descrierilor finite este cel mult numărabilă. Mulțimea descrierilor necontradictorii finite este o submulțime a acesteia, deci este cel mult numărabilă.

    Pentru orice distribuție statistică care nu favorizează excesiv descrieri de universuri (adică e continuă), probabilitatea lui \(F\) este zero.

    Fie \(d\) o distribuție continuă pe \(\mathbb{R}\) (de exemplu o distribuție uniformă). Fie \(F_{R}\) imaginea lui \(F\) în \(\mathbb{R}\) printr-o bijecție oarecare. \(F_{R}\) este numărabilă. Deoarece \(d\) este continuă, probabilitatea oricărei mulțimi numărabile este zero.

    Într-un univers posibil întâmplător, ales fără a favoriza excesiv vreun univers, fiecare tip este conectat de un număr infinit de alte tipuri.

    Fie o mulțime de tipuri \(T\). Cu probabilitate \(1\), \(T\) este numărabilă.

    Fie \(t\) un tip din \(T\). Fie \(A_{t}\) mulțimea tuturor mulțimilor de tipuri cu care ar putea interacționa \(t\) într-o descriere de univers oarecare (mulțimea \(X\) este în \(A_{t}\) dacă și numai dacă există o descriere de univers care folosește tipurile \(T\) și în care \(t\) interacționează cu toate tipurile din \(X\) și nu interacționează cu niciun alt tip). Evident, \(A_{t}\) este mulțimea tuturor submulțimilor lui \(T\) (aceste submulțimi îl pot conține pe \(t\) pentru că elementele de același tip pot interacționa între ele), deci se poate pune în bijecție cu \(\mathbb{R}\).

    Fie \(B_{t}\) mulțimea tuturor elementelor finite ale lui \(A_{t}\). Atunci \(B_{t}\) este numărabilă, deci, ca mai sus, probabilitatea lui \(B_{t}\) este zero.

    Fie \(t_{1},t_{2},\dots\) tipurile din \(T\). Fie \(Fin(t)\) propoziția „\(t\) este legat direct de un număr finit de noduri”. Atunci

    \begin{equation} P(Fin(t_{1})\vee Fin(t_{2})\vee Fin(t_{3})\vee\dots)\leq P(Fin(t_{1}))+P(Fin(t_{2}))+\dots=P(B_{t_{1}})+P(B_{t_{2}})+\dots=0\nonumber \\ \end{equation}

    Ca urmare, probabilitatea ca într-un univers să existe un tip conectat cu un număr finit de alte tipuri este zero.

    Este posibil ca unele dintre interacțiunile grafulului tipurilor să fie foarte slabe. Să definim (doar la nivel intuitiv) puterea unei interacțiuni între două tipuri \(t_{1}\) și \(t_{2}\) \(Pint(t_{1},t_{2})\) ca fiind cât de mult schimbă o interacțiune cu un obiect de tip \(t_{2}\) parametrii observabili ai lui \(t_{1}\) și să presupunem că o putem măsura cu un număr real pozitiv, astfel încât interacțiunile cu putere mai mare decât un \(Pmin(t_{1})\) sunt observabile.

    Există mai multe moduri de a defini o astfel de putere a interacțiunilor între două obiecte \(o_{1}\) și \(o_{2}\) concrete de tipuri \(t_{1}\) respectiv \(t_{2}\). Pentru a simplifica exprimarea, să presupunem că putem observa/măsura parametrii \(p_{1},p_{2},\dots\) ai obiectelor de tip \(t_{1}\) (de exemplu energia sau poziția) și să presupunem că această măsurătoare o facem cu o precizie \(pr(t_{1},p_{i})\) (valoare mică înseamnă precizie mare, zero ar însemna că putem măsura valoarea exactă; presupunem că nu putem măsura valorile exacte).

    Atunci putem lua ca putere a interacțiunii între \(o_{1}\) și \(o_{2}\) maximul raportului între cât se modifică parametrii \(p_{i}\) și precizia cu care îi putem măsura. Dacă \(a_{i}\) este valoarea parametrului \(p_{i}\) înainte de interacțiune iar \(b_{i}\) este valoarea după interacțiune, atunci puterea interacțiunii între \(o_{1}\) și \(o_{2}\) este \(max_{i}(\frac{\mid b_{i}-a_{i}\mid}{pr(t_{1},p_{i})})\).

    Să observăm că, folosind această construcție, \(Pmin(t)=1\), unde \(t\) este un tip pentru care putem măsura cel puțin un parametru.

    Pentru că interacțiunile între obiectele de două tipuri \(t_{1}\) și \(t_{2}\) probabil că nu au o putere constantă, ci puterea variază în funcție de obiectele concrete, definim puterea interacțiunilor între tipuri în funcție de interacțiunile între obiecte concrete. Fie următoarele:

    1. 1.

      \(Pc(t_{1},t_{2})\) mulțimea puterii interacțiunilor posibile între obiecte concrete de tip \(t_{1}\) și \(t_{2}\).

    2. 2.

      Alegem o distribuție continuă oarecare pe \(Pc\).

    3. 3.

      Alegem o probabilitate \(p>0\) astfel încât să considerăm că \(p\) este limita până la care avem șanse să observăm evenimente care se întâmplă cu probabilitatea \(p\) în cadrul unei observații asupra tipului \(t_{1}\).

    Atunci luăm \(Pint(t_{1},t_{2})\) ca fiind cea mai