No gráfico \ref{961261}, vemos que o potencial de Lennard-Jones possui apenas um ponto de mínimo, de equilíbrio estável global, aproximadamente em \(r=0,62\). Também possui energia mínima em \(E=E_0\approx-124\), e para \(E_0<E<0\), existem dois pontos de retorno. Para energias positivas, o potencial tem apenas um ponto de retorno.
Esses valores são calculados através do próprio potencial. No caso do ponto de equilíbrio, temos\[\frac{dV}{dr}=-12\frac{\alpha}{r^{13}}+6\frac{\beta}{r^{7}}=\frac{6}{r^{7}}\left[\beta-2\frac{\alpha}{r^{6}}\right],\]que tem raizes definidas pela equação\[\beta-2\frac{\alpha}{r^{6}}=0 \ \ \ \implies \ \ \ \ r_0=\left[\frac{2\alpha}{\beta}\right]^{1/6},\]ou seja, apenas uma raiz positiva \(r_0\).
A segunda derivada do potencial é dada por\[\frac{d^2V}{dr^2}=156\frac{\alpha}{r^{14}}-42\frac{\beta}{r^{8}},\]enquanto o valor da segunda derivada no ponto de equilíbrio vem a ser\[\left.\frac{d^2V}{dr^2}\right|_{r=r_0}= 156\cdot \alpha \left(r_0\right)^{-14} -42\cdot \beta\left(r_0\right)^{-8}, \]que resulta em\[\left.\frac{d^2V}{dr^2}\right|_{r=r_0}= 36 \left(2\alpha\right)^{-4/3}\beta^{7/3}, \]que é positivo. Portanto, o ponto \(r_0\) de fato é um único ponto de equilíbrio estável. O valor do potencial neste ponto é dado por\[V\left(r_0\right)=- \frac{\beta^{2}}{4\alpha} ,\]que é também o valor da energia mínima do sistema. Portanto, neste sistema, a energia mecânica pode assumir valores negativos.
Vamos calcular os pontos de retorno do potencial de Lennard-Jones. Os pontos de retorno são raízes da equação \(E-V\left(r\right)=0\), ou seja,\[\frac{\alpha}{r^{12}}-\frac{\beta}{r^{6}}=E.\]Para \(E>0\), esta equação resulta em\[r^{12}+r^{6}\frac{\beta}{E}-\frac{\alpha}{E}=0,\]portanto,\[r^{6}=\frac{\beta}{2E}\left(\sqrt{1+\frac{4\alpha E}{\beta^{2}}}-1\right).\]A solução negativa implicaria em  \(r^6\) negativo, o que não é uma solução aceitável. Finalmente, temos\[r_-\equiv \sqrt{\left(\frac{\beta}{2E}\right)^{1/3}\left(\sqrt{1+\frac{4\alpha E}{\beta^{2}}}-1\right)^{1/3}}.\label{r}\]Esta é uma única raiz positiva, portanto, um único ponto de retorno. Assim, para energias positivas, temos apenas um ponto de retorno, que é o ponto de maior aproximação entre os dois átomos. Na figura \ref{961261}, este caso corresponde ao sistema com energia \(E_3\), por exemplo.
Se a energia é negativa, temos a equação\[r^{12}-r^{6}\frac{\beta}{\left|E\right|}+\frac{\alpha}{\left|E\right|}=0,\]ou seja,\[r^{6}=\frac{1}{2}\frac{\beta}{\left|E\right|}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4\alpha}{\beta^{2}}\left|E\right|}\right).\]Desde que \(E>-\beta^2/4\alpha\), resultado que já conhecemos, não teremos problemas com raízes imaginárias ou raízes negativas dessas soluções. Ainda, temos que\[r_{\pm}\equiv\sqrt{\left(\frac{\beta}{2\left|E\right|}\right)^{1/3}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4\alpha}{\beta^{2}}\left|E\right|}\right)^{1/3}}\]são os pontos de retorno do sistema. Estes pontos estão ilustrados para o exemplo específico da figura \ref{961261}, nas interseções entre as retas \(E_1\)\(E_2\) com o potencial \(V\).
Como \(r_\pm\) são pontos de retorno para \(E<0\), ainda que a dinâmica temporal seja muito complexa para ser calculada pela quadratura, sabemos que os átomos adquirem um movimento radial oscilatório entre \(r_-\)\(r_+\) para cada valor possível de energia. Muitas vezes, como neste caso, o conhecimento dos pontos de retorno é mais significativo que o conhecimento da função horária em si.
Quando um sistema possui um regime de movimento oscilatório entre dois pontos de retorno, dizemos que o sistema se encontra em um estado ligado. No caso das moléculas diatômicas, os estados ligados são aqueles de energia negativa. Os estados de energia positiva são denominados estados de espalhamento, pois após alcancar a distância \(r_-\) em  (\ref{r}), os átomos entrarão em movimento de escape entre eles, até se tornarem partículas livres.
Um ponto limite para os estados de movimento é o de energia nula. Neste caso, temos também um único ponto de retorno, dado por\[r_-=\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/6}.\]
Veremos, que, no caso do átomo de hidrogênio, considerações similares podem ser feitas.