Um bom exemplo de uma função escalar é a temperatura. Em determinado cômodo, podemos determinar a temperatura como uma função que depende do ponto do espaço. Em um dia quente, a temperatura de um quarto próximo à janela deve ser maior que a temperatura próximo à porta, e ainda maior que a temperatura próximo ao ar condicionado. Esperamos, assim que a temperatura seja uma função real de cada ponto. Além disso, o valor da temperatura em cada ponto não deve mudar se rodarmos o sistema de coordenadas.
Vetores
Um vetor \(\boldsymbol{u}\), pertencente a um espaço vetorial real \(E\), é todo objeto que pode
- Ser multiplicado por um número real, \(a \boldsymbol{u}\in E \ \forall \ a\in\mathbb{R}\)
- Ser somado com outro vetor, \(\forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in E, \ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\in E\),
e possui as seguintes propriedades:
- A multiplicação por escalar é distributiva: \(a\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right)= a\boldsymbol{u}+a\boldsymbol{v}\);
- Outra propriedade distributiva: \(\left(a+b\right)\boldsymbol{u}= a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{u}\);
- A soma é associativa: \(\boldsymbol{u}+\left(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}\right)=\left(\boldsymbol{u}+ \boldsymbol{v}\right)+\boldsymbol{w}\);
- A multiplicação é associativa: \(a\left(b\boldsymbol{u}\right)=\left(ab\right)\boldsymbol{u}\);
- A soma é comutativa: \(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\);
- Existência do elemento neutro da multiplicação: \(1\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}\);
- Existência do elemento neutro da soma: \(\boldsymbol{0}+\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}\);
- Existência do elemento inverso da soma: \(\left(-\boldsymbol{u}\right)+\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}\).
A grande maioria dos observáveis físicos são vetores, enquanto muitos objetos matemáticos também o são. Por exemplo, certos conjuntos de matrizes formam um espaço vetorial, assim como funções analíticas em determinados domínios. A visão tradicional de um vetor como uma seta unido dois pontos de um espaço, por outro lado, é uma alegoria pedagógica causadora de muita confusão. Esta confusão vem do fato de que o
espaço euclidiano, em si, é um espaço vetorial. Seus pontos, portanto, também são vetores.
Vamos nos lembrar de outras definições importantes envolvendo vetores:
Dependência linear: Dois vetores são Linearmente Dependentes (LD) quando ambos estão relacionados pela multiplicação por número real, ou seja, se \(\boldsymbol{u}=a\boldsymbol{v}\), \(\boldsymbol{u}\) e \(\boldsymbol{v}\) são LD. Dois vetores LD são também denominados colineares.
Independência linear: Um conjunto de vetores \(\left\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots,\boldsymbol{u}_n\right\}\equiv \left\{\boldsymbol{u}_i\right\}\) é linearmente independente se nenhum membro do conjunto for uma combinação linear dos outros membros, ou seja, se nenhum subconjunto de dois vetores é LD. Neste caso, basta que a única solução da equação\(\sum_{i=1}^n a_i\boldsymbol{u}_i=0\) seja a solução trivial \(a_i=0 \ \ \forall \ i\).
Base: Um conjunto de vetores \(B\equiv\left\{\boldsymbol{e}_i\right\}\) é denominado uma base do espaço vetorial \(E\) se \(B\) é LI e se todo vetor de \(E\) puder ser escrito como combinação linear dos elementos de \(B\). Dizemos, assim, que \(E\) é gerado pela base \(B\).
Há poucas aulas dissemos que os espaços euclidianos são também espaços vetoriais. Portanto, a reta real é um espaço vetorial e os números reais são vetores. É fácil demonstrar que as propriedades de 1 a 7 são obedecidas neste caso. Contudo, no espaço unidimensional apenas um vetor de base existe, visto que todos os outros são colineares. Caso desejemos, podemos eleger o número 1 como base de \(\mathbb{R}\). Todos os demais números reais são gerados a partir deste vetor por simples multiplicação .... por números reais. Mas não existirá mais de um vetor que pertence à base de \(\mathbb{R}\).
O espaço euclidiano bidimensional \(\mathbb{R}^2\) também é um espaço vetorial. Cada ponto é um vetor, o que não contrasta com a alegoria comumente utilizada de que vetores bidimensionais são setas ligando dois pontos do espaço. Enchergar vetores como setas é útil do ponto de vista geométrico, mas propriedades como direção e sentido necessitam de mais estrutura para serem introduzidas. Ainda assim, podemos verificar que \(\mathbb{R}^2\) permite uma base de dois elementos, por exemplo, os pontos \(\mathbf{e}_1\equiv(1,0)\) e \(\mathbf{e}_2\equiv(0,1)\) em um sistema de coordenadas cartesiano. Estes não são os únicos exemplos. Quaisquer dois vetores não colineares são geradores de \(\mathbb{R}^2\).
Como estamos interessados no espaço euclidiano tridimensional \(\mathbb{R}^3\), observáveis vetoriais serão membros deste espaço. Em \(\mathbb{R}^3\), toda base tem três vetores LI, por exemplo, os pontos \(\mathbf{e}_1\equiv \left(1,0,0\right)\), \(\mathbf{e}_2\equiv \left(0,1,0\right)\) e \(\mathbf{e}_3\equiv \left(0,0,1\right)\), mais uma vez tomando-se um sistema de coordenadas cartesiano.
Em \(\mathbb{R}^3\), como cada ponto é um vetor, podemos agora tratar a posição de uma partícula como vetor. E como todo vetor pode ser escrito como combinação linear de uma base, escrevemos\[\label{posicao}\mathbf{x}\equiv x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+x_3\mathbf{e}_3=\sum_{i=1}^3x_i\mathbf{e}_i,\]e este é o vetor posição. Quando escrevemos vetores considerando uma base vetorial, as operações de multiplicação e soma são descritas pelas expressões\(\)