O produto escalar
As propriedades usualmente atribuídas aos vetores euclidianos de módulo, direção e sentido dependem da operação de produto interno, também conhecida por produto escalar. O produto escalar é uma relação que leva dois vetores a uma função escalar, ou seja,\[\left(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}\right):\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \Phi,\]em que \(\Phi \) é o espaço das funções escalares. O produto escalar tem, também, as seguintes propriedades:
- Simetria: \(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\mathbf{y}\cdot \mathbf{x}\);
- Bilinearidade: \(\left(a\mathbf{x}+b\mathbf{y}\right)\cdot \mathbf{z}=a\mathbf{x}\cdot \mathbf{z}+b\mathbf{y}\cdot \mathbf{z}\);
- Positividade: \(\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}\geq 0\);
- Não degenerescência: \(\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}= 0\) se, e somente se, \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\).
Note que, no caso do espaço euclidiano, o produto escalar é uma função de seis variáveis, como a função distância. De fato, a distância entre dois pontos é um produto escalar que obedece às propriedades de 1 a 4. Usar a métrica euclidiana como produto escalar implica em definir\[\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=\sum_{i=1}^3x_iy_i.\]Vamos relembrar mais uma definição:
Módulo ou valor absoluto: O módulo de um vetor \(\mathbf{x}\) é definido pela expressão\[\left|\mathbf{x}\right|=\sqrt{\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}}=\sqrt{\mathbf{x}^2}.\]
Assim, vemos que o módulo de um vetor é a distância entre o ponto de \(\mathbb{R}^3\) e a origem do sistema de coordenadas.
Temos também:
Ângulo: O ângulo \(\theta\) entre dois vetores é definido pela expressão\[\theta\equiv \arccos \left(\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{\left|\mathbf{x}\right|\left|\mathbf{y}\right|}\right).\]
Neste caso, o ângulo entre dois vetores é definido pelo produto escalar euclidiano. Esta expressão nos remete à definição não rigorosa de produto escalar \(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\left|\mathbf{x}\right|\left|\mathbf{y}\right|\cos \theta\). Portanto, é fato que vetores euclidianos possuem módulo, direção e sentido. Contudo, essas são propriedades de um produto interno, não do espaço vetorial em si. Por esta razão, o espaço euclidiano é usualmente definido como um espaço vetorial com produto interno euclidiano.
Por fim, a noção de ortogonalidade entre vetores também depende do produto escalar:
Ortogonalidade: Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero.
Uma base \(\left\{\mathbf{e}_i\right\}\) é denominada ortonormal quando\[\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_{j}=\begin{cases}
0 & \textnormal{se }i\neq j\\
1 & \textnormal{se }i=j
\end{cases}\]e, neste caso, é formada por vetores ortogonais de módulo unitário.
Notação matricial
Não há uma única maneira de denotar os vetores matematicamente. Vetores em si são objetos abstratos, mas podem ser representados por suas componentes uma vez que uma base é escolhida. A forma de expansão em (\ref{posicao}) é bastante usual, mas nem sempre a mais conveniente.
A notação matricial de um vetor é obtida a partir da escolha de uma base. Se a base é ortonormal e segue a orientação do sistema de coordenadas cartesiano, representamos os vetores de base como