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\begin{document}

\title{Mec\selectlanguage{ngerman}ânica Clássica - Homogeneidade do Espaço\selectlanguage{english}}



\author[1]{Mario Cezar Bertin}%
\affil[1]{Instituto de Física, Universidade Federal da Bahia}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 07, 2024}


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Rich media available at \url{https://youtu.be/XV63t3aqu18}

\selectlanguage{ngerman}\section*{Translações}

{\label{802492}}

O espaço euclidiano tridimensional~\(\mathbb{R}^3\) é homogêneo, o que
significa que ele tem as mesmas propriedades geométricas
independentemente da posição da origem do sistema de coordenadas. A
homogeneidade também significa a invariância da métrica por translações.

Podemos analisar a operação de translação de duas formas distintas. A
forma~\textbf{ativa} consiste em mudar a posição do sistema físico com
relação ao observador, ou seja, a distância entre o observador e o
sistema, sem mudar a orientação do sistema com relação aos eixos
ordenados. A forma~\textbf{passiva} consiste em mudar a posição da
origem do sistema de coordenadas, sem modificar a orientação dos eixos
ordenados em si. Se~\(x\in\mathbb{R}^3\) é a posição de uma partícula, uma
translação ativa consiste em mudar a posição da partícula para um
determinado ponto~\(y\in\mathbb{R}^3\), pela operação

\begin{equation} \label{eq:01} \label{eq:05}x\longrightarrow y:\left\{\begin{array}{l}y_{1}=x_{1}+a_{1},\\ y_{2}=x_{2}+a_{2},\\ y_{3}=x_{3}+a_{3},\end{array}\right.\\  \end{equation} 

em que~\(a_1\),~\(a_2\) e~\(a_3\) s\selectlanguage{ngerman}ão
números reais denominados parâmetros da transformação. Por outro lado,
uma translação passiva não modifica o sistema físico em si, mas apenas o
sistema de coordenadas, o que equivale a mudar o observador de posição.
Neste caso, a mesma transformação ({\ref{eq:05}}) tem a
forma

\begin{equation} \label{eq:02} \label{eq:06}\left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\}\longrightarrow\left\{y_{1},y_{2},y_{3}\right\}:\left\{\begin{array}{c}y_{1}=x_{1}-a_{1},\\ y_{2}=x_{2}-a_{2},\\ y_{3}=x_{3}-a_{3},\end{array}\right.\thinspace\thinspace\thinspace\left\{a_{1},a_{2},a_{3}\right\}\in\mathbb{R}.\\  \end{equation}

Note que a transforma\selectlanguage{ngerman}ção ativa é a inversa da transformação passiva,
para que ambas representem a mesma operação. Por enquanto, vamos abordar
apenas a forma passiva das transformações de translação e rotação.

Note que ({\ref{eq:06}}) é uma transformação linear.
Podemos coloca-la em uma forma matricial:

\begin{equation} \label{eq:03} \label{eq:07}\left(\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-a_{1}\\ 0&1&0&-a_{2}\\ 0&0&1&-a_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}-a_{1}\\ x_{2}-a_{2}\\ x_{3}-a_{3}\\ 1\end{array}\right),\\  \end{equation} 

em que

\begin{equation} \label{eq:04} \label{eq:09}T\left(a\right)\equiv\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-a_{1}\\ 0&1&0&-a_{2}\\ 0&0&1&-a_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\\  \end{equation} 

\selectlanguage{ngerman}é a matriz de translação.

A forma matricial é útil para determinar algumas importantes
propriedades das translações. Primeiro, duas translações em sequência
formam uma única translação. Uma translação passiva com
parâmetros~\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\}\) seguida por outra translação de
parâmetros~\(\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\}\) representa uma única translação cujos
parâmetros são dados por~\(\left\{ a_{1}+b_1,a_{2}+b_2,a_{3}+b_3\right\}\). Para ver esta propriedade,
vamos supor que o sistema de coordenadas~\(\{x\}\) seja
transladado no sistema~\(\{y\}\) através da transformação
({\ref{eq:07}}). Depois, passamos ao sistema de
coordenadas~\(\{z\}\) através da transformação

\begin{equation} \label{05} \label{10}\left(\begin{array}{c}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-b_{1}\\ 0&1&0&-b_{2}\\ 0&0&1&-b_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\\ 1\end{array}\right),\\  \end{equation} 

em que

\begin{equation} \label{eq:06} \label{eq:11}T\left(b\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-b_{1}\\ 0&1&0&-b_{2}\\ 0&0&1&-b_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\\  \end{equation} 

\selectlanguage{ngerman}é a matriz da segunda translação. Substituindo-se
({\ref{eq:07}}) em ({\ref{10}}), temos

\begin{equation} \label{07} \label{11}\left(\begin{array}{c}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-b_{1}\\ 0&1&0&-b_{2}\\ 0&0&1&-b_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-a_{1}\\ 0&1&0&-a_{2}\\ 0&0&1&-a_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ 1\end{array}\right),\\  \end{equation} 

que resulta em

\begin{equation} \label{08} \label{12}\left(\begin{array}{c}z_{1}\\ z_{2}\\ z_{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\left(a_{1}+b_{1}\right)\\ 0&1&0&-\left(a_{2}+b_{2}\right)\\ 0&0&1&-\left(a_{3}+b_{3}\right)\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}-\left(a_{1}+b_{1}\right)\\ x_{2}-\left(a_{2}+b_{2}\right)\\ x_{3}-\left(a_{3}+b_{3}\right)\\ 1\end{array}\right).\\  \end{equation} 

Neste caso, vemos que a matriz da transforma\selectlanguage{ngerman}ção é dada por

\begin{equation} \label{09} \label{13}T\left(a+b\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\left(a_{1}+b_{1}\right)\\ 0&1&0&-\left(a_{2}+b_{2}\right)\\ 0&0&1&-\left(a_{3}+b_{3}\right)\\ 0&0&0&1\end{array}\right)=T(b)T(a),\\  \end{equation}

ou seja, a matriz resultante \selectlanguage{ngerman}é o produto das matrizes que compõem a
transformação, na ordem de realização das transformações, da direita
para a esquerda. Assim, se~\(T(a)\) e~\(T(b)\) são
translações,~\(T(b)T(a)=T(a+b)\) também é uma translação. Esta
propriedade é denominada~\textbf{propriedade de grupo}.

A segunda propriedade é a existência de uma translação que deixa o
sistema de coordenadas inalterado. Esta translação é denominada
identidade e é representada pela matriz

\begin{equation} \label{10} \label{14}T\left(0\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\equiv\boldsymbol{1}_{4}.\\  \end{equation} 

A identidade representa a transla\selectlanguage{ngerman}ção com todos os parâmetros nulos.

A terceira propriedade é a existência de uma transformação
inversa~\(T^{-1}(a)=T(-a)\), representada pela matriz

\begin{equation} \label{eq:11} \label{eq:15}T\left(-a\right)\equiv\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&a_{1}\\ 0&1&0&a_{2}\\ 0&0&1&a_{3}\\ 0&0&0&1\end{array}\right).\\  \end{equation} 

Obviamente, temos~\(T(a)T(-a)=T(-a)T(a)=\mathbf{1}_4\). As propriedades de grupo, da
exist\selectlanguage{ngerman}ência da identidade e do elemento inverso são as características de
uma estrutura matemática denominada \textbf{grupo}.

Uma quarta propriedade é especial no caso das translações. A composição
de duas translações em sequência é representada pelo produto matricial,
enquanto a ordem do produto entre matrizes importa no resultado, o que é
conhecido como não comutatividade do produto matricial. Ou seja,
se~\(A\) e~\(B\) são
matrizes,~\(AB\neq BA\), no geral. Contudo, matrizes de translação
comutam entre si, ou seja,\(T(a)T(b)=T(b)T(a)\). Dizemos, assim, que uma
translação é um elemento de um~\textbf{grupo abeliano}. O conjunto de
todas as matrizes de translação sobre o espaço euclidiano tridimensional
forma o grupo de translações~\(T_3\). Note que o
grupo~\(T_3\) é representado por matrizes~\(4\times 4\),
portanto, dizemos que o grupo tem dimensão~\(4\).

Dizemos que o espaço~\(\mathbb{R}^3\) é homogêneo pois a métrica
euclidiana, que calcula a distância entre pontos, é invariante por
translações. Podemos ver isso diretamente da definição

\begin{equation}\label{12} D\left(x,y\right)=\sqrt{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-x_{3}\right)^{2}}.\nonumber \\  \end{equation} 

Uma transla\selectlanguage{ngerman}ção dos pontos~\(x\) e~\(y\) pelos
mesmos parâmetros~\((a_1,a_2,a_3)\), em dois novos
pontos~\(x'\), resulta em

\begin{align}  \label{13} D^{\prime}\left(x^{\prime},y^{\prime}\right) & =\sqrt{\left(y^{\prime}_{1}-x^{\prime}_{1}\right)^{2}+\left(y^{\prime}_{2}-x^{\prime}_{2}\right)^{2}+\left(y^{\prime}_{3}-x^{\prime}_{3}\right)^{2}} \\   & =\sqrt{\left(y_{1}-a_{1}-x_{1}+a_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-a_{2}-x_{2}+a_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-a_{3}-x_{3}+a_{3}\right)^{2}}\notag  \\   & =\sqrt{\left(y_{1}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-x_{3}\right)^{2}}\notag  \\   & =D(x,y).\\  \end{align} 

Portanto, as transla\selectlanguage{ngerman}ções deixam invariante a geometria dos espaço
euclidiano. Dizemos, assim, que o grupo de translações é uma simetria
de~\(\mathbb{R}^3\) e, também, que o espaço~\(\mathbb{R}^3\) é
homogêneo.

A homogeneidade do espaço euclidiano, que também pode ser demonstrada em
qualquer dimensão, implica na invariância das características
geométricas do sistema físico, como suas dimensões, por translações.
Assim, dois observadores transladados um com relação ao outro
concordarão com as dimensões de um sistema físico.

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

