ROUGH DRAFT authorea.com/48287
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    Descripción

    Sabemos que en un sistema se tiene que la salida de agua para un estanque con altura \(h\), donde la altura varía muy poco en comparado a la salida de agua, está dada por

    \[v=\sqrt{2hg}\]

    A partir de esto, es posible obtener que el flujo dado por una abertura de agua es \[Q=va\] donde \(a\) es el área de salida. De esta manera, el volúmen es \[\dot V = Q_e-Q_s \implies \dot h = \frac{Q_e}{A} - \frac{Q_s}{A}\] donde \(Q_s\) es el flujo de salida, \(Q_e\) es el flujo de entrada y \(A\) es el área basal.

    A partir de esto, las ecuaciones que modelan el sistema son las siguientes

    \[\begin{aligned} \frac{dh_1}{dt}=\frac{u_1}{A_1}-\frac{a_1}{A_1}\sqrt{2gh_1} \\ \frac{dh_2}{dt}=\frac{a_1}{A_2}\sqrt{2gh_1}-\frac{a_2}{A_2}\sqrt{2gh_2} \\ \frac{dh_3}{dt}=\frac{a_2}{A_3}\sqrt{2gh_2}+\frac{u_2}{A_3} -\frac{a_3}{A_3}\sqrt{2gh_3} \\ \frac{dh_4}{dt}=\frac{a_3}{A_4}\sqrt{2gh_3} -\frac{a_4}{A_4}\sqrt{2gh_4} \end{aligned}\]

    Linearización \[\begin{aligned} \frac{d\Delta h_1}{dt}&=-\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_1}\frac{\Delta h_1}{2\sqrt{h_{1,0}}}+ \frac{\Delta u_1}{A_1} \\ \frac{d\Delta h_2}{dt}&=\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_2}\frac{\Delta h_1}{2\sqrt{h_{1,0}}} -\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_2}\frac{\Delta h_2}{2\sqrt{h_{2,0}}} \\ \frac{d\Delta h_3}{dt}&=\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_3}\frac{\Delta h_2}{2\sqrt{h_{2,0}}} -\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_3}\frac{\Delta h_3}{2\sqrt{h_{3,0}}}+\frac{\Delta u_2}{A_3}\\ \frac{d\Delta h_4}{dt}&=\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_4}\frac{\Delta h_3}{2\sqrt{h_{3,0}}} -\sqrt{2g}\frac{a_4}{A_4}\frac{\Delta h_4}{2\sqrt{h_{4,0}}}\end{aligned}\] Funciones de transferencia \[\begin{aligned} H_1&=\frac{U_1}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_1}\frac{1}{2\sqrt{h_{1,0}}})A1}\\ H_2&=\frac{\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_2}\frac{H_1}{2\sqrt{h_{1,0}}}}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_2}\frac{1}{2\sqrt{h_{2,0}}})}\\ H_3&=\frac{\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_3}\frac{H_2}{2\sqrt{h_{2,0}}}+\frac{U_2}{A_3}}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_3}\frac{1}{2\sqrt{h_{3,0}}})}\\ H_4&=\frac{\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_4}\frac{H_3}{2\sqrt{h_{3,0}}}}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_4}{A_4}\frac{1}{2\sqrt{h_{4,0}}})}\\\end{aligned}\]

    Modelo

    Modelo

    \label{mod}

    Resultados?

    Problema 1: \(T=50\)s, \(A_1=A_2=A_3=A_4=25\) y \(a_1=a_2=a_3=a_4=0.5\)

    \label{my-label}

    My caption
    P1 I1 D1 N1 P2 I2 D2 N2 T (s) J
    4.02655033102541 0.00707663585191656 105.852280024346 24.1254745118946 8.46657640881977 0.0160604299009 106.517002608262 25.396177245369 18.8753 25.7616
    4.02655033102541 0.00707663585191656 105.852280024346 24.1254745118946 7.59579648845765 0.0621726373502101 125.508575702244 12.2525011117829 18.4759 22.9768
    1346979.11966406 1584225.48605783 254463.620874896 23039.6492931084 7.59579648845765 0.0621726373502101 125.508575702244 12.2525011117829 18.5968 23.5435