Proyecto

Descripción

Sabemos que en un sistema se tiene que la salida de agua para un estanque con altura \(h\), donde la altura varía muy poco en comparado a la salida de agua, está dada por

\[v=\sqrt{2hg}\]

A partir de esto, es posible obtener que el flujo dado por una abertura de agua es \[Q=va\] donde \(a\) es el área de salida. De esta manera, el volúmen es \[\dot V = Q_e-Q_s \implies \dot h = \frac{Q_e}{A} - \frac{Q_s}{A}\] donde \(Q_s\) es el flujo de salida, \(Q_e\) es el flujo de entrada y \(A\) es el área basal.

A partir de esto, las ecuaciones que modelan el sistema son las siguientes

\[\begin{aligned} \frac{dh_1}{dt}=\frac{u_1}{A_1}-\frac{a_1}{A_1}\sqrt{2gh_1} \\ \frac{dh_2}{dt}=\frac{a_1}{A_2}\sqrt{2gh_1}-\frac{a_2}{A_2}\sqrt{2gh_2} \\ \frac{dh_3}{dt}=\frac{a_2}{A_3}\sqrt{2gh_2}+\frac{u_2}{A_3} -\frac{a_3}{A_3}\sqrt{2gh_3} \\ \frac{dh_4}{dt}=\frac{a_3}{A_4}\sqrt{2gh_3} -\frac{a_4}{A_4}\sqrt{2gh_4} \end{aligned}\]

Linearización \[\begin{aligned} \frac{d\Delta h_1}{dt}&=-\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_1}\frac{\Delta h_1}{2\sqrt{h_{1,0}}}+ \frac{\Delta u_1}{A_1} \\ \frac{d\Delta h_2}{dt}&=\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_2}\frac{\Delta h_1}{2\sqrt{h_{1,0}}} -\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_2}\frac{\Delta h_2}{2\sqrt{h_{2,0}}} \\ \frac{d\Delta h_3}{dt}&=\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_3}\frac{\Delta h_2}{2\sqrt{h_{2,0}}} -\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_3}\frac{\Delta h_3}{2\sqrt{h_{3,0}}}+\frac{\Delta u_2}{A_3}\\ \frac{d\Delta h_4}{dt}&=\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_4}\frac{\Delta h_3}{2\sqrt{h_{3,0}}} -\sqrt{2g}\frac{a_4}{A_4}\frac{\Delta h_4}{2\sqrt{h_{4,0}}}\end{aligned}\] Funciones de transferencia \[\begin{aligned} H_1&=\frac{U_1}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_1}\frac{1}{2\sqrt{h_{1,0}}})A1}\\ H_2&=\frac{\sqrt{2g}\frac{a_1}{A_2}\frac{H_1}{2\sqrt{h_{1,0}}}}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_2}\frac{1}{2\sqrt{h_{2,0}}})}\\ H_3&=\frac{\sqrt{2g}\frac{a_2}{A_3}\frac{H_2}{2\sqrt{h_{2,0}}}+\frac{U_2}{A_3}}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_3}\frac{1}{2\sqrt{h_{3,0}}})}\\ H_4&=\frac{\sqrt{2g}\frac{a_3}{A_4}\frac{H_3}{2\sqrt{h_{3,0}}}}{(S+\sqrt{2g}\frac{a_4}{A_4}\frac{1}{2\sqrt{h_{4,0}}})}\\\end{aligned}\]

Modelo

Modelo

\label{mod}