Teoreme göre elimizde \(n\) kutuya dağıtılacak \(\left(n+1\right)\) obje varsa en az bir kutuda en az iki obje olur.
KANIT: Burada çelişki yöntemi ile ispat yapacağız;
- Varsayalım ki n kutunun her birinde en fazla 1 obje olsun.
- Öyleyse her kutuda 1 obje olduğundan tüm kutulardaki toplam obje sayısı n olur. \(\left(1+1+1\ +......+1\right)=n\)
- Fakat bizim elimizde en başta toplam \(\left(n+1\right)\) adet obje vardı. \(\left(n+1\right)\ne n\) olduğundan çelişki vardır.
- Bir kutuda en az iki obje olmalıdır.
Bu basit prensibi birçok şekilde görebiliriz. Örneğin 13 kişilik bir arkadaş grubunda aynı ayda doğan en az 2 arkadaş vardır. Arkadaş grubunuzda her şeye muhalif olan biri mutlaka vardır ve buna da karşı çıkacaktır. Diğer arkadaşlarınız ve siz doğum aylarınızı söylemeye başladınız; Ocak, Şubat, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz, Ağustos, Eylül, Ekim, Kasım, Aralık. Sıra size karşı çıkan arkadaşınıza geldiğinde mutlaka bu aylardan birini söyleyecek ve matematiğe karşı gelinmeyeceğini anlayacaktır.
Gelin bu teoremi biraz daha soyutlaştırarak bazı kurallar verelim;
X, Y sonlu kümeler ve f : X\(\to\)Y bir fonksiyon olsun.
- \(\left|X\right|>\left|Y\right|\) ise f birebir (1-1) değildir.
- f örten ve \(\left|X\right|=\left|Y\right|\) ise f birebirdir (1-1).
- f birebir (1-1) ve \(\left|X\right|=\left|Y\right|\) ise f örtendir.