Burada kırmızı renkli bölüm av olan hayvanın popülasyonunu gösterirken, avcı popülasyonu mavi ile işaretlenmiştir. Av-avcı arasını ifade eden diferansiyel denklem sistemi
\(\frac{d\lambda}{dt}=a\lambda+b\lambda\mu\)
\(\frac{d\mu}{dt}=c\mu+dλμ\)
ile modellenir ve bu eşitliklere aynı zamanda Lotka-Volterra denklemi denir. Burada a, b, c, d sayıları av ile avcı arasındaki ilişkilerle belirlenen parametrelerdir;av ile avcının doğum ve ölüm oranları ile ilgilidir. t zamanı belirtir ,λ,μ sırasıyla av sayısı ile avcı sayısını belirtir. Bu grafiklerdeki benzeşmeler, bizi günde iyileşen sayısı ile günlük vaka sayısı arasında bir modelleme yapmaya teşvik edebilir.
Lotka-Volterra denklemini bu modele uyarlayalım.
\(\lambda\) ,\(\mu\) sırasıyla günlük vaka sayısı ile günlük iyileşen sayısı olsun. Bu diferansiyel denklem sistemini çözersek \(d\lambda+c\ln\lambda+b\mu+a\ln\mu=\zeta\) (burada ζ başlangıç koşullarından elde edilen bir katsayıdır) sonucuna varılır.
4 Nisan tarihini başlangıç olarak alırsak (çünkü ilk iyileşen sayısı bu gün yayınlandı) ,λ(4.4.2020)=3013 ve μ(4.4.2020)=302 başlangıç değerlerine ulaşırız. Bu başlangıç değerlerinden ζ 'yı a,b,c,d cinsinden bulabiliriz. Hesap yapınca 3013d+8.01c+302b+5.71a=ζ sonucuna varırız o halde derin bir istatistiksel araştırma yaptıktan sonra iyileşen/günlük vara arasında a,b,c,d'yi de bulabilir ve modeli dλ+clnλ+bμ+alnμ=3013d+8.01c+302b+5.71a olarak buluruz.
Sonuç ve Uyarı
Bütün bu yapılan istatistiki işlerden yola çıkılarak varılabilecek sonuçların en önemlisi salgının yavaş yavaş dengeye gelmekte olduğu ancak dengeye gelmenin salgının bitmesi anlamına gelmediğidir. Yukarıda yapılan bütün istatistiklerin bir anda değişmesi(Vaka sayısında ortalama artışı gibi) bizlere bağlı. Bu istatistiklerden geleceğe yönelik yapılan tahminler keskin tahminler değildir çünkü basit istatitiki yöntemler kullandık. Bu yazıdaki en temel amacımız salgının şu ana kadarki gidişat hakkında formal yorumlarda bulunmaktır. Tabii sonda bir de süpriz uygulama bölümü var.
Bulduğumuz bu model tabii ki yaklaşık bir modeldir ve çok daha kesin sonuçlar veren epidemik modeller matematikçiler tarafından bulunmuştur. Bu yazıda başta da söylendiği gibi önce istatistik hakkında teorik bir ön bilgi verip daha sonra Sağlık Bakanlığının yayınladığı koronavirüs istatistikleri ile basit bir istatistik çalışması yaptık ve bu alana uzak gibi görünen ancak oldukça işimize yarayan av avcı denklemlerinden bir model ürettik. Konular ilginizi çektiyse ileri okumalar bölümünden araştırmaya devam edebilirsiniz, bilimle ve sağlıkla kalınız.