Doktorası için Almanya'da bulunduğu dönemde II. Dünya Savaşı'nın başlamasıyla zor günler yaşayan Arf, 1940 yılında doktorasını tamamlayarak İstanbul Üniversitesi'ne dönmüştür. Patrick du Val ile birlikte çalışmaya başlamıştır, bu çalışmalar sonucunda bir cebrik eğrinin dallanması ile alakalı olan "Arf halkaları" ve "Arf kapanışı" terimlerini matematiğe kazandırmıştır. Tüm bu çalışmalarıyla cebirsel sayılar kuramına büyük katkı sağlayan Cahit Arf, matematikteki asıl amacının Riemann hipotezini çözmek olduğunu belirtmiştir.1