Fig.2

B : complessità clinica A : autonomia S : solitudine

La tavola di verità può essere così espressa in termini algebrici booleani :

PF = BAS + BaS + BAs + Bas + bas

Ciascuno dei prodotti indicati nella formula rappresenta una combinazione delle variabili trovate nei casi di PF elencati dai MMG.

Occorre precisare che nell’algebra booleana la moltiplicazione e l’addizione non sono aritmetici per cui l’espressione BAs non vuol dire che il valore di B vada moltiplicato per quello di A e poi per quello di s per dare il risultato PF , ma significa che la presenza della variabile B è combinata con la presenza della variabile A e con l’assenza della variabile s, formando la configurazione BAs che dà luogo a PF .

In altri termini, nell’algebra booleana il segno di moltiplicazione indica l’operatore logico AND (congiunzione) mentre il segno di addizione indica l’operatore logico OR (disgiunzione) perciò la somma di prodotti su riportata significa che le tre variabili causali sono congiunte (AND) in differenti configurazioni che danno in modo disgiunto (OR) lo stesso risultato PF.

Minimizzazione delle espressioni booleane .

Le operazioni svolte fino a questo punto potrebbero far pensare ad un aumento della complessità piuttosto che ad una sua riduzione ma ora vedremo che questo non è vero.

Innanzitutto occorre applicare una regola fondamentale dell’approccio booleano la quale afferma che se due espressioni booleane differiscono per una sola variabile ma producono lo stesso risultato allora la variabile che distingue le due espressioni può essere considerata irrilevante e rimossa per creare un’espressione combinata più semplice.11Ragin C.C., (op.cit, pag. 93)

Considerando le prime due righe della tavola di verità (fig.2), vediamo che differiscono solo per la variabile A che nella riga 2 è assente (valore 0) e nella riga 1 è presente (valore 1), perciò le due espressioni BaS e BAS , applicando la regola su citata possono essere semplificate nell’espressione BS .

In altre parole, il confronto fra le due espressioni, considerate in modo olistico, indica che la variabile A è ininfluente perché comunque il risultato è PF.

Il processo di minimizzazione è applicato secondo una procedurabottom-up, fin quando non è possibile compiere ulteriori semplificazioni.

Procediamo con la minimizzazione dell’espressione booleana su citata:

BAS unita con BaS si riduce a BS

BAS unita con BAs si riduce a BA

Bas unita con bas si riduce a as

L’espressione ridotta che si ottiene è la seguente:

PF = BS + BA + as

Questa procedura mostra come, mediante la minimizzazione booleana, sia possibile individuare un’espressione più semplice di condizioni causali. Infatti, le iniziali cinque combinazioni di tre variabili sono state ridotte a tre combinazioni di due variabili.