Fig.2
B : complessità clinica A : autonomia S :
solitudine
La tavola di verità può essere così espressa in termini algebrici
booleani :
PF = BAS + BaS + BAs + Bas + bas
Ciascuno dei prodotti indicati nella formula rappresenta una
combinazione delle variabili trovate nei casi di PF elencati dai MMG.
Occorre precisare che nell’algebra booleana la moltiplicazione e
l’addizione non sono aritmetici per cui l’espressione
BAs non vuol dire che il valore di B
vada moltiplicato per quello di A e poi per quello di
s per dare il risultato PF , ma significa
che la presenza della variabile B è combinata con la
presenza della variabile A e con l’assenza della
variabile s, formando la configurazione
BAs che dà luogo a PF .
In altri termini, nell’algebra booleana il segno di moltiplicazione
indica l’operatore logico AND (congiunzione) mentre il segno di
addizione indica l’operatore logico OR (disgiunzione) perciò la somma di
prodotti su riportata significa che le tre variabili causali sono
congiunte (AND) in differenti configurazioni che danno in modo disgiunto
(OR) lo stesso risultato PF.
Minimizzazione delle espressioni booleane .
Le operazioni svolte fino a questo punto potrebbero far pensare ad un
aumento della complessità piuttosto che ad una sua riduzione ma ora
vedremo che questo non è vero.
Innanzitutto occorre applicare una regola fondamentale dell’approccio
booleano la quale afferma che se due espressioni booleane differiscono
per una sola variabile ma producono lo stesso risultato allora la
variabile che distingue le due espressioni può essere considerata
irrilevante e rimossa per creare un’espressione combinata più
semplice.11Ragin C.C., (op.cit, pag. 93)
Considerando le prime due righe della tavola di verità (fig.2), vediamo
che differiscono solo per la variabile A che nella riga 2 è
assente (valore 0) e nella riga 1 è presente (valore 1), perciò le due
espressioni BaS e BAS , applicando la regola su citata
possono essere semplificate nell’espressione BS .
In altre parole, il confronto fra le due espressioni, considerate in
modo olistico, indica che la variabile A è ininfluente perché comunque
il risultato è PF.
Il processo di minimizzazione è applicato secondo una procedurabottom-up, fin quando non è possibile compiere ulteriori
semplificazioni.
Procediamo con la minimizzazione dell’espressione booleana su citata:
BAS unita con BaS si riduce a BS
BAS unita con BAs si riduce a BA
Bas unita con bas si riduce a as
L’espressione ridotta che si ottiene è la seguente:
PF = BS + BA + as
Questa procedura mostra come, mediante la minimizzazione booleana, sia
possibile individuare un’espressione più semplice di condizioni causali.
Infatti, le iniziali cinque combinazioni di tre variabili sono state
ridotte a tre combinazioni di due variabili.