The solution of B5,C2, B2, andA2
In the light of Eqs. (7) and (A5), B 5 can be
solved as follows:
\(\mathrm{B}_{\mathrm{5}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{5}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{=}\frac{\left\{\mathrm{0.8}\mathrm{R}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{4}}\mathrm{-3}\mathrm{P}_{\mathrm{c}}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{5}}\right\}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\)(A10)
Each term of Eq. (20) is multiplied by (V-b )h and then
substituteV=RTZ/Pinto the obtained formula, consideringB 1=R , the following equation can be
derived:
\(\left(\mathrm{\text{ZRT}}\mathrm{-}\mathrm{\text{Pb}}\right)\mathrm{h}\mathrm{=}\mathrm{\text{RT}}\mathrm{+}\sum_{\mathrm{i}\mathrm{=2}}^{\mathrm{5}}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{T}\right)}{\left[\left(\frac{\mathrm{\text{ZRT}}}{\mathrm{P}}\mathrm{-}\mathrm{b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{i}\mathrm{-1}}}\)(A11)
Then Z differentiates partially to P at a given
temperature and it finally obtains Eq. (A12):
\(\left(\frac{\mathrm{\text{dZ}}}{\mathrm{\text{dP}}}\right)_{\mathrm{T}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\text{bh}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}\mathrm{P}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{2}\mathrm{f}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\mathrm{P}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{3}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{3}}\mathrm{P}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{4}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{4}\mathrm{f}_{\mathrm{5}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{4}}\mathrm{P}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{5}}}}{\mathrm{\text{hRT}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{\text{hP}}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{2}\mathrm{f}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\mathrm{P}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{3}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{3}\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{3}}\mathrm{P}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{4}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{4}\mathrm{f}_{\mathrm{5}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{4}}\mathrm{P}\left(\mathrm{b-}\frac{\mathrm{\text{RTZ}}}{\mathrm{P}}\right)^{\mathrm{5}}}}\)(A12)
When P=Pr= 0, Z= 1, Eq. (A12) is
simplified to the following form:
\(\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}\right)\mathrm{=}\left\{\left[\left(\frac{\mathrm{\text{dZ}}}{\mathrm{d}\mathrm{P}_{\mathrm{r}}}\right)_{\mathrm{P}_{\mathrm{r}}\mathrm{=}\mathrm{0}}\right]\frac{\left(\mathrm{\text{RTh}}\right)^{\mathrm{2}}}{\mathrm{P}_{\mathrm{c}}}\right\}\mathrm{-}\mathrm{\text{bRT}}\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\)(A13)
According to Eqs. (14) and (A13) at the point ofT= \(\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\), the following formula can be
derived:
\(\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\right)\mathrm{=}\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\mathrm{=}\left\{\left[\mathrm{Z}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{1}\right]\frac{\left(\mathrm{R}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\right)^{\mathrm{2}}}{\mathrm{P}_{\mathrm{c}}}\mathrm{-}\mathrm{\text{bR}}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\right\}\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\)(A14)
According to Eqs. (15) and (A13) at the point ofT=TB , the following formula can be derived:
\(\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\right)\mathrm{=}\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\mathrm{=\ -}\mathrm{\text{bR}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\)(A15)
Meanwhile,
\(\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{=}\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}\mathrm{=9}\mathrm{P}_{\mathrm{c}}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}\mathrm{-3.8}\mathrm{R}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\)(A16)
By combining Eqs. (A14), (A15) and (A16), the arithmetic solutions ofC2, B2 , andA2 are finally deduced as follows:
\(\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\left[\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{+}\mathrm{\text{bR}}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\frac{\left(\mathrm{1-}\mathrm{Z}_{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{P}_{\mathrm{c}}}\right]\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\mathrm{-}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{+}\left[\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{+}\mathrm{\text{bR}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\right]\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}\mathrm{-}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{-5.475}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\right)\left(\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\mathrm{-}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{-5.475}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\mathrm{-}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}\right)\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{T}^{\mathrm{{}^{\prime}}}\right)}\)(A17)
\(\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\left[\mathrm{-}\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\mathrm{\text{bR}}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}\mathrm{h}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{-5.475}\mathrm{T}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\mathrm{-}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}\right)\right]}{\mathrm{T}_{\mathrm{B}\mathrm{\ }}\mathrm{-}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}\)(A18)
\(\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}\)(A19)