The solution of B3,A3, C3,A4 and B4
By substituting Eqs. (3), (4), (5), (7) and (18) into the novel M-H EOS
(20), then the first-order and second-order differential equations aboutP with respect to T at a given volume can be achieved as
follows:
\(\left(\frac{\mathrm{\text{dP}}}{\mathrm{\text{dT}}}\right)_{\mathrm{V}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{R}}{\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}}\mathrm{+}\sum_{\mathrm{i}\mathrm{=2}}^{\mathrm{5}}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{i}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{i}}}\mathrm{+}\left(\mathrm{-}\frac{\mathrm{5.475}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}\right)\left[\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{2}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{3}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{3}}}\right]\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{-5.475}\mathrm{T}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\)(A20)
\(\left(\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}}\mathrm{P}}{\mathrm{d}\mathrm{T}^{\mathrm{2}}}\right)_{\mathrm{V}}\mathrm{=}\left(\mathrm{-}\frac{\mathrm{5.475}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}\right)^{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{2}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{3}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{3}}}\right]\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{-5.475}\mathrm{T}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}\)(A21)
According to the equations about Eqs. (16), (17), (18), (A20) and (A21),
the following formulas can be achieved:
\(\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{\ }\mathrm{-}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\)(A22)
\(\mathrm{B}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}}\)(A23)
\(\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{=}\mathrm{m}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{R}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}}{\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}}\)(A24)
\(\mathrm{A}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}}\)(A25)
\(\mathrm{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{=}\mathrm{f}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}\)(A26)
\(\mathrm{A}_{\mathrm{4}}\mathrm{=}\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\)(A27)
By substituting A 2, B 2,C 2; A 3,B 3, C 3;A 4, B 4 andB 5 into the novel M-H EOS (20), the following
equation can be derived:
\(\ \mathrm{P=}\ \frac{\mathrm{\text{RT}}}{\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{T}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{3}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{4}}}+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}\mathrm{T}}{\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{5}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{V-}\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\right)\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-T}\right)}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\left[\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{4}}}\ \)(A28)
By introducing Eq. (A28) into Eq. (19), the definite integral
about V can be derived at a given vapor pressure and temperature
(Po, To ):
\(\mathrm{P}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\mathrm{-}\mathrm{V}_{\mathrm{l}}\right)=\)\({\ \par
\begin{Bmatrix}\frac{\mathrm{R}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{h}}\mathrm{\ln}\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{-}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{T}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\mathrm{2}{\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{h}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{3}{\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{3}}\mathrm{h}}^{\mathrm{4}}}\\
\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{4}{\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{4}}\mathrm{h}}^{\mathrm{5}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{4}}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{3}}}\right]\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}\right)\\
\end{Bmatrix}}_{\mathrm{V}_{\mathrm{v}}}^{V_{l}}\) (A29)
Set \(\mathrm{\Phi}\)\(\left(\mathrm{V,}{\mathrm{\ }\mathrm{B}}_{\mathrm{4}}\right)\ \)is
the function of volume and B 4, as follows:
\(\mathrm{\Phi}\mathrm{\ }\left(\mathrm{V,}\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\right)\)\(\mathrm{=}\mathrm{P}_{\mathrm{o}}\mathrm{V-}\) \(\par
\begin{Bmatrix}\frac{\mathrm{R}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{h}}\mathrm{\ln}\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{-}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\left(\mathrm{V-b}\right)\mathrm{h}^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{T}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\mathrm{2}{\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{h}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{3}{\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{3}}\mathrm{h}}^{\mathrm{4}}}\\
\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{4}{\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{4}}\mathrm{h}}^{\mathrm{5}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}}{\mathrm{h}^{\mathrm{4}}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{3}}}\right]\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}\right)\\
\end{Bmatrix}\text{\ \ }\) (A30)
Set f1i (Vi ) andf2i (Vi ) as follows:
\(\mathrm{f}_{\mathrm{1i}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\right)\mathrm{=}\mathrm{P}_{\mathrm{o}}\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{R}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{h}}\mathrm{\ln}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}\mathrm{+}\mathrm{C}_{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{B}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{0}}\mathrm{T+}\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}}}{\mathrm{2}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\mathrm{-b}\right)^{\mathrm{2}}\mathrm{h}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{\ +}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)}{\mathrm{3}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\mathrm{-b}\right)^{\mathrm{3}}\mathrm{h}}^{\mathrm{4}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{4}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\mathrm{-b}\right)^{\mathrm{4}}\mathrm{h}}^{\mathrm{5}}}\)(A31)
\(\mathrm{f}_{\mathrm{2i}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\right)\mathrm{=}\frac{\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{T}_{\mathrm{o}}\right)}{\mathrm{h}^{\mathrm{4}}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{V-b}\right)^{\mathrm{3}}}\right]\)(A32)
Due to\(\mathrm{\Phi}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\mathrm{,}\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\right)\mathrm{=\Phi}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{l}}\mathrm{,}\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\right)\),B4 can be solved as the following formula shows:
\(\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{1v}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\right)\mathrm{-}\mathrm{f}_{\mathrm{1l}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{l}}\right)}{\mathrm{f}_{\mathrm{2v}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{v}}\right)\mathrm{-}\mathrm{f}_{\mathrm{2l}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{l}}\right)}\)(A33)
The remaining unsolved parameters: A 3,
B 3 and A 4 can be solved through
the application of B 4 achieved by Eq. (A33).
\(\mathrm{A}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{f}_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\left\{\mathrm{m}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{R}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}}{\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}}\right\}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\mathrm{-}\mathrm{C}_{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{-5.475}}+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}}\)(A34)
\(\mathrm{B}_{\mathrm{3}}\mathrm{=m}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{3}}\mathrm{-}\mathrm{R}\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{5}}}{\left[\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}\right]^{\mathrm{2}}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{4}}}{\left(\mathrm{V}_{\mathrm{c}}\mathrm{-b}\right)\mathrm{h}}\)(A35)
\(\mathrm{A}_{\mathrm{4}}\mathrm{=}\mathrm{f}_{\mathrm{4}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\right)\mathrm{-}\mathrm{B}_{\mathrm{4}}\mathrm{T}_{\mathrm{c}}\)(A36)