Por lo que el intervalo queda: \(\left[\frac{\kappa}{\xi_{1-\frac{\alpha}{2}}},\frac{\kappa}{\xi_{\frac{\alpha}{2}}}\right]\).
Ejercicio 4: A partir de una m.a.s. dada: \(X_1,\cdots,X_n;\ \ \ \ \ X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\)construye, usando el método pivotal, un Intervalo de Confianza a nivel \(1-\alpha\) para la desviación estandar \(\sigma\) de una población \(X\sim N\left(\mu,\sigma\right)\) cuando la media poblacional \(\mu\) es desconocida. Usa para ello el estadístico muestral \(T\ \left(\sigma,S\right)=\frac{\left(n-1\right)S^2}{\sigma^2}=w\sim\chi^2\left(n-1\right)\).
El estadístico \(T\ \left(\sigma,S\right)\) es una variable aleatoria que es función de la varianza muestral, \(S\), y del parámetro a determinar varianza poblacional, \(\sigma \). Respecto a la variable \(\sigma \) es una función continua y monotona decreciente (puesto que \(\sigma \in (0,\infty)\)). Como variable aleatoria \(T \sim \chi^2(n-1)\), donde \(\chi^2\) es una función independiente del parámetro a estimar: \(\sigma\).
Una vez comprobado que \(T\left(\sigma,\ S\right)\) es una variable aleatoria bien definida para usar el método del pivotal, procedamos entonces a determinar el intervalo de confianza al \(100\cdot\left(1-\alpha\right)\ \%\). Puesto que la función de distribución de probabilidad seguida por \(T=w\sim\chi^2\left(n-1\right)\) es unimodal pero no es simétrica, debemos tomar el intervalo, de manera general: \(\left[w_{\frac{\alpha}{2}}\ ,\ w_{1-\frac{\alpha}{2}}\right]\). \(w_{\frac{\alpha}{2}}\) es el punto del espacio que deja a su izquierda una probabilidad acumulada de \(\frac{\alpha}{2}\), mientras que \(w_{1-\frac{\alpha}{2}}\) deja a su izquierda una probabilidad acumulada de \(1-\frac{\alpha}{2}\) y \(\frac{\alpha}{2}\) a su derecha.