Ejercicio 3: A partir de una m.a.s. dada: \(X_1,\cdots,X_n;\ \ \ \ \ X_i\sim N(\mu_0,\sigma^2)\)construye, usando el método pivotal, un Intervalo de Confianza a nivel \(1-\alpha\) para la desviación estandar \(\sigma\) de una población \(X\sim N\left(\mu_0,\sigma\right)\) cuando la media poblacional \(\mu_0\) es conocida. Usa para ello el estadístico muestral \(T\left(\vec{X_n},\sigma\right)=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{i\ }-\mu_0\right)^2}{\sigma^2}=\Xi\sim\chi^2\left(n\right)\).
El estadistico \(T\left(\vec{X}_n,\sigma\right)\) es una variable aleatoria que es función de la m.a.s., \(\vec{X}_n\), y del parámetro a determinar varianza poblacional, \(\sigma\). Respecto a la variable \(\sigma\) es una función continua y monotona decreciente (puesto que \(\sigma\in\left(0,\infty\right)\)). Como variable aleatoria \(T\left(\vec{X}_n,\sigma\right)=\Xi\sim\chi^2\left(n\right)\), donde \(\chi^2\) es una función independiente del parámetro a estimar: \(\sigma\).
Una vez comprobado que \(T\left(\vec{X}_n,\sigma\right)\) es una variable aleatoria bien definida para usar el método del pivotal. Procemos entonces a determinar el itnervalo de confianza al \(100\ \cdot\left(1-\alpha\right)\%\). Puesto que la función de distribución de probabilidad seguida por \(T\left(\vec{X}_n,\sigma\right)=\Xi\sim\chi^2\left(n\right)\), es una distribución unimodal pero no simétrica, debemos tomar el intervalo de confianza de manera más general (no podemos suponer que ambos extremos son iguales en valor absoluto y con signos opuestos): \(\left[\xi_{\frac{\alpha}{2}},\ \xi_{1-\frac{\alpha}{2}}\right]\). \(\xi_{\frac{\alpha}{2}}\) es el punto del espacio que deja a su izquierda una probabilidad acumulada de \(\frac{\alpha}{2}\), mientras que \(\xi_{1-\frac{\alpha}{2}}\) deja a su izquierda una probabilidad acumulada de \(1-\frac{\alpha}{2}\) y \(\frac{\alpha}{2}\) a su derecha.
Por simplicidad en la notación llamo \(\kappa=\sum_{i=1}^n\left(X_{i\ }-\mu_0\right)^2\). Bien, en términos de la función de distribución de probabilidad: