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\begin{document}

\title{P\selectlanguage{ngerman}ÉNDULOS\selectlanguage{english}}



\author[1]{Rafael}%
\author[1]{JMG}%
\affil[1]{Affiliation not available}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 05, 2024}


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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{45 mm}

\begin{center}

\begin{LARGE}
\rule{80mm}{0.1mm}

\vspace*{3 mm}
\selectlanguage{ngerman}\textbf{PÉNDULOS ACOPLADOS} 
\vspace{1 mm}

\rule{150mm}{0.1mm}

\end{LARGE}

{\large Laboratorio de Física II}
\vspace*{100 mm}

\begin{large}
JAVIER MÉNDEZ GALLEGO Y RAFAEL NAVARRO CARRERA

CC. FÍSICAS - GRUPO L9

Fecha de realización: 24/10/2018

Fecha de entrega: 31/10/2018

\end{large}

\end{center}

\newpage

\setcounter{page}{1}

\chapter*{Introducción}

Esta práctica consiste en la medición de las frecuencias de dos péndulos acoplados a través de un muelle que se encuentran en sus correspondientes modos normales de oscilación, es decir, en fase y en oposición de fase. También es objeto la frecuencia modulada y la frecuencia moduladora características del caso pulsado de ambos péndulos.

Con los anteriores datos, se obtiene el valor del factor de acoplamiento calculado a partir de las frecuencias de los modos normales y del caso pulsado para comparalos con el obtenido a partir de los parámetros físicos del sistema.

El objetivo último de la práctica es comprender el comportamiento de dos péndulos unidos mediante un muelle y discutir los resultados obtenidos.

El fundamento teórico de la práctica viene dado en el guión de la misma.

\chapter*{Resultados}

La constante del muelle se determina a través de la relación lineal que existe entre el desplazamiento respecto de la posición de equilibrio y la masa suspendida en este, ya que acorde a la \textit{Ley de Hooke} se tiene que:
\vspace{-5 mm}

\begin{center}
\(F=m\times x\)
\end{center}

\vspace{-5 mm}
Se obtiene que:\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\caption{\selectlanguage{ngerman}{'Determinación  de k'}}
\vspace{-5 mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\hline
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
\multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{C0C0C0}{\color[HTML]{000000} \textbf{Constante K}}}              \\ \hline
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
{\color[HTML]{000000} \textbf{$K \ [N/m]$}} & {\color[HTML]{000000} \textbf{$Err_K \ [N/m]$}} \\
3,12                                        & 0,05                                           
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\vspace{-5 mm}
Una vez se ha determinado la constante del muelle, se puede continuar con el an\selectlanguage{ngerman}álisis del sistema.  A continuación se presentan los datos obtenidos en el laboratorio:\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{{Medidas Tomadas - Casos Fase y Antifase}}
\begin{tabular}{@{}cccccccccccc@{}}
\toprule
\rowcolor[HTML]{9B9B9B} 
\multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} LONGITUD}} & \multicolumn{5}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} EN FASE}}                                                                                   & \multicolumn{5}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} OP FASE}}                                                                                   \\ \midrule
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
{\color[HTML]{000000} L{[}m{]}}        & {\color[HTML]{000000} E\_L}        & {\color[HTML]{000000} N} & {\color[HTML]{000000} t{[}s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_t} & {\color[HTML]{000000} $\omega${[}rad/s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_$\omega$} & {\color[HTML]{000000} N} & {\color[HTML]{000000} t{[}s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_t} & {\color[HTML]{000000} $\Omega${[}rad/s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_$\Omega$} \\ \midrule
0,300                                  & 1E-03                           & 93                       & 180,65                          & 0,01                        & 3,2346                              & 2E-4                        & 95                       & 179,75                          & 0,01                        & 3,3207                              & 2E-4                        \\
0,400                                  & 1E-03                           & 71                       & 137,46                          & 0,01                        & 3,2454                              & 2E-4                        & 78                       & 144,59                          & 0,01                        & 3,3895                              & 2E-4                        \\
0,500                                  & 1E-03                           & 86                       & 166,87                          & 0,01                        & 3,2382                              & 2E-4                        & 76                       & 137,56                          & 0,01                        & 3,4714                              & 3E-4                        \\
0,600                                  & 1E-03                           & 71                       & 137,39                          & 0,01                        & 3,247                               & 2E-4                        & 78                       & 137,51                          & 0,01                        & 3,564                               & 3E-4                        \\
0,700                                  & 1E-03                           & 71                       & 137,52                          & 0,01                        & 3,2439                              & 2E-4                        & 81                       & 138,62                          & 0,01                        & 3,6715                              & 3E-4                        \\ \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{{Medidas Tomadas - Caso Pulsado}}
\begin{tabular}{cccccccccccc}
\hline
\rowcolor[HTML]{9B9B9B} 
\multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} LONGITUD}} & \multicolumn{5}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} MODULADA ($\omega_+$)}}                                                                     & \multicolumn{5}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} MODULADORA ($\omega_-$)}}                                                                   \\ \hline
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
{\color[HTML]{000000} L{[}m{]}}        & {\color[HTML]{000000} E\_L}        & {\color[HTML]{000000} N} & {\color[HTML]{000000} t{[}s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_t} & {\color[HTML]{000000} $\omega_+${[}rad/s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_$\omega$} & {\color[HTML]{000000} N} & {\color[HTML]{000000} t{[}s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_t} & {\color[HTML]{000000} $\omega_-${[}rad/s{]}} & {\color[HTML]{000000} E\_$\omega$} \\ \hline
0,300                                  & 1E-03                           & 90                       & 174,3                           & 0,01                        & 3,2443                              & 2E-4                      & 1                        & 148,72                          & 0,01                        & 0,042248                            & 3,00E-06                    \\
0,400                                  & 1E-03                           & 71                       & 137,51                          & 0,01                        & 3,2441                              & 2E-4                      & 1                        & 86,52                           & 0,01                        & 0,072621                            & 8,00E-06                    \\
0,500                                  & 1E-03                           & 84                       & 162,08                          & 0,01                        & 3,2563                              & 2E-4                      & 1                        & 56,2                            & 0,01                        & 0,1118                              & 2,00E-05                    \\
0,600                                  & 1E-03                           & 70                       & 134,72                          & 0,01                        & 3,2647                              & 2E-4                      & 1                        & 39,44                           & 0,01                        & 0,15931                             & 4,00E-05                    \\
0,700                                  & 1E-03                           & 68                       & 130,82                          & 0,01                        & 3,266                               & 2E-4                      & 1                        & 29,44                           & 0,01                        & 0,21342                             & 7,00E-05                    \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Haciendo oscilar los dos p\selectlanguage{ngerman}éndulos se puede determinar su periodo característico. Los resultados numéricos son los siguientes:\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{{Frecuencias Normales}}
\begin{tabular}{@{}ccccllcc@{}}
\toprule
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} \selectlanguage{ngerman}
{\color[HTML]{000000} \textbf{Péndulo}} & {\color[HTML]{000000} \textbf{N Osc.}} & \multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{C0C0C0}{\color[HTML]{000000} \textbf{Tiempo}}}        & \multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{C0C0C0}{\color[HTML]{000000} \textbf{Periodo}}}                                                                                               & \multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{C0C0C0}{\color[HTML]{000000} \textbf{Frecuencia Natural}}}                   \\ \midrule
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
{\color[HTML]{000000} }                 & {\color[HTML]{000000} }                & {\color[HTML]{000000} \textbf{$t[s]$}} & {\color[HTML]{000000} \textbf{$\Delta t \ [s]$}} & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{C0C0C0}{\color[HTML]{000000} \textbf{$T[s]$}}} & \multicolumn{1}{c}{\cellcolor[HTML]{C0C0C0}{\color[HTML]{000000} \textbf{$\Delta T \ [s]$}}} & {\color[HTML]{000000} \textbf{$w_{nat} \ [rad/s]$}} & {\color[HTML]{000000} \textbf{$\Delta w_{nat} \ [rad/s]$}} \\
\cellcolor[HTML]{FFFFFF}1               & 92                                     & 181,04                                 & 0,01                                             & 1,9678E+00                                                                         & 1,E-04                                                                                       & 3,1930E+00                                          & 2,E-04                                                     \\
2                                       & 92                                     & 181,04                                 & 0,01                                             & 1,9678E+00                                                                         & 1,E-04                                                                                       & 3,1930E+00                                          & 2,E-04                                                     \\ \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Para calcular los valores de la constante de acoplamiento del sistema, se emplean las respectivas f\selectlanguage{ngerman}órmulas dadas a lo largo del guión. Se obtienen los siguientes resultados:\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Constantes Acoplamiento (Dinámica del Oscilador)}}
\begin{tabular}{@{}ccccc@{}}
\toprule
\rowcolor[HTML]{9B9B9B} 
{\color[HTML]{000000} } & \multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} \textbf{F. NORM}}} & \multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} \textbf{PULSADO}}} \\ \midrule
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
\textbf{L{[}m{]}}       & \textbf{K}                             & \textbf{Err\_K}                            & \textbf{K}                             & \textbf{Err\_K}                            \\
3,000E-01               & 2,6E-02                                & 2,E-03                                     & 2,5710E-02                             & 2,E-06                                     \\
4,000E-01               & 4,3E-02                                & 2,E-03                                     & 4,3791E-02                             & 5,E-06                                     \\
5,000E-01               & 6,9E-02                                & 2,E-03                                     & 6,639E-02                              & 1,E-05                                     \\
6,000E-01               & 9,3E-02                                & 2,E-03                                     & 9,305E-02                              & 2,E-05                                     \\
7,000E-01               & 1,23E-01                               & 2,E-03                                     & 1,2268E-01                             & 4,E-05                                     \\ \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


Si ahora empleamos los par\selectlanguage{ngerman}ámetros físicos proporcionados en el guión ,los valores de la constante de acople son:\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Constantes Acoplamiento (Parámetros Físicos)}}
\begin{tabular}{@{}ccc@{}}
\toprule
\rowcolor[HTML]{9B9B9B} 
{\color[HTML]{000000} } & \selectlanguage{ngerman}\multicolumn{2}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} \textbf{PARÁMETROS FÍSICOS}}} \\ \midrule
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
\textbf{L{[}m{]}}       & \textbf{K}                                  & \textbf{Err\_K}                                  \\
3,000E-01               & 2,87E-02                                    & 6,E-04                                           \\
4,000E-01               & 4,98E-02                                    & 9,E-04                                           \\
5,000E-01               & 7,6E-02                                     & 1,E-03                                           \\
6,000E-01               & 1,06E-01                                    & 2,E-03                                           \\
7,000E-01               & 1,38E-01                                    & 2,E-03                                           \\ \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Para comprobar la validez del marco te\selectlanguage{ngerman}órico empleado, se representan sendas gráficas. La de $\Omega^2 \ vs. \ L^2$ es la \textit{figura 1}.


Se aprecia la relación de linealidad entre los valores, así como la correspondencia entre el valor de la pendiente y el esperado acorde al marco teórico, aunque se discutirá más en profundidad en el correspondiente apartado de discusión de resultados.

En el caso de la relación de $w \ vs. \ L^2$, también se espera obtener una relación puramente lineal, según el modelo empleado.

Se puede apreciar la relación en forma gráfica en la \textit{figura 2}. Nótese que los parámetros de ajuste se detallan en el propio gráfico.


A partir de la pendiente de estos gráficos se puede obtener un valor estimado de $\omega$, acorde nuevamente a las expresiones deducidas teóricamente. De este modo se obtiene que:\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Frecuencias Naturales (Regresión)}}
\begin{tabular}{@{}cccc@{}}
\toprule
\rowcolor[HTML]{9B9B9B} 
\multicolumn{4}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} \textbf{REGRESIÓN (F. NORMAL --- F. MODULADORA)}}}                                                                                                                         \\ \midrule
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
\textbf{$\omega \ [rad/s]$}                        & \textbf{$\Delta \omega \ [rad/s]$}                        & \textbf{$\omega  \ [rad/s]$}                      & \textbf{$\Delta \omega  \ [rad/s]$}                      \\
3,06E+00                                           & 8,E-02                                                    & 2,64E+00                                           & 5,E-02                                                    \\
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
{\color[HTML]{000000} $m1 \ [rad/(s \times m)]^2$} & {\color[HTML]{000000} $\Delta m1 \ [rad/(s \times m)]^2$} & {\color[HTML]{000000} $m2 \ [rad/(s \times m^2)]$} & {\color[HTML]{000000} $\Delta m2 \ [rad/(s \times m^2)]$} \\
6,14E+00                                           & 8,E-02                                                    & 4,33E-01                                           & 1,E-03                                                   
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


\begin{sidewaysfigure}
\includegraphics[scale=.5]{461}
\caption{{$\Omega^2 \ vs. \ L^2$}}
\end{sidewaysfigure}

\begin{sidewaysfigure}
\includegraphics[scale=.5]{462}
\caption{{$\omega \ vs. \ L^2$}}
\end{sidewaysfigure}


\selectlanguage{ngerman}\chapter*{Discusión y Análisis de Resultados}


A continuación se discute la validez, precisión y exactitud de los resultados descritos, así como su relevancia y la información que aportan a la interpretación de la dinámica de los péndulos acoplados.

En primer lugar, la constante del muelle utilizado para acoplar los dos péndulos se mide a través de la pendiente obtenida mediante la interpolación de la gráfica que compara la masa colgada del muelle con la elongación del muelle, expuesta en el anejo. Lo primero que se observa en dicha figura es que la relación es claramente lineal, como teoriza la \textit{Ley de Hooke}. Además, se observa que la recta obtenida pasa cerca del origen, lo que implica una correcta medida de datos; pues si no hay masa colgada, no hay elongación. De esta manera, se entiende que la constante del muelle $k$ obtenida tiene una buena exctitud.

En siguiente lugar se registran las frecuencias características de cada péndulo sin acoplar. Esto se lleva a cabo para comprobar que ambos péndulos tienen la misma frecuencia de oscilación y así se pueda llevar a cabo el experimento. Como la frecuencia de un péndulo solo depende de su longitud, en caso de que los péndulos no tengan la misma medida, habría que variar las longitudes de sus barras. Sin embargo, para esta práctica no va a ser necesario dicho paso, pues los dos tienen la misma frecuencia.

Del cálculo del factor de acoplamiento $K$ que se lleva a cabo a partir de las medidas del laboratorio sobre los modos normales de oscilación (\textit{tabla 2}), se obtiene un resultando con una incertidumbre mucho mayor que del cálculo a traves del caso pulsado (\textit{tabla 3}). Por tanto, el caso pulsado tiene una precisión mayor del factor de acoplamiento. Sin embargo, ambos resultados son compatibles, pues se encuentran dentro del rango de incertidumbres.

El cálculo de $K$ mediante los parámetos físicos del sistema ofrece unos valores cercanos a los anteriormente descritos. Sin embargo, no entran dentro del rango de incertidumbres, por lo que no son estrictamente compatibles. Aún así, se aprecia una clara relación entre los valores comparados, desviándose unos de otros unas décimas, por lo que son perfectamente válidos.

Basándose en los resultados anteriores, es fácil comprobar que el factor de acoplamiento no depende del modo de oscilación de los péndulos, sino de la distancia de acople, denominada como $L$.

El siguiente paso es la generación de las gráficas 1 y 2. En la \textit{figura 1} se observa una relación lineal entre el cuadrado de la distancia de acople y el cuadrado de la frecuencia angular en oposición de fase. Esto se corresponde con lo que indica el marco teórico en la fórmula $13$ del guión de la práctica. A partir de la pendiente obtenida por la línea de tendencia se obtiene la frecuencia característica, que se asemeja a la obtenida al inicio del informe. De hecho esta frecuencia es compatible con la medida directamente, pues está cubierta por las incertidumbres.

En la gráfica de la \textit{figura 2} se aprecia la misma relación lineal, descrita por la ecuación $14$ del guión. Sin embargo, la frecuencia obtenida se aleja de forma destacable de las frecuencias anteriormente tratadas. Esto se debe a la inexactitud de medidas obtenidas en el caso pulsado. Esto se observa claramente en el valor de la ordenada en el origen de la recta. Teóricamente, esta debería ser nula, sin embargo se observa que el rango de incertidumbre no cubre el valor cero, por lo que no es nula.

El error en la medida aquí descrito se podría deber a diversos factores como pérdidas de energías, oscilaciones en distintos planos o errores del montaje y sus componentes.

Por último, se discute como afectaría al factor de acoplamiento una variación en la constante del muelle.

Si se modifica el valor de la constante $k$ en el caso de los péndulos en fase, el valor de la frecuencia permanece constante, dado que los péndulos se mantienen a la misma distancia -la de equilibrio- y por ello la fuerza ejercida por el muelle es nula. Ahora bien, en el caso de oposición de fase, el muelle ejerce una fuerza que depende de la constante $k$. De esta manera, aumenta la frecuencia al hacerlo la constante.  

Para el caso del factor de acoplamiento, se observa un cierto mínimo, así como un comportamiento asintótico cuando el valor de $k$ crece, tendiendo entonces al valor máximo $1$.

\chapter*{Conclusión}

Los objetivos propuestos han sido cumplidos en su totalidad, ya que la realización de esta práctica ha permitido una mejor compresión de la dinámica de los péndulos acoplados. Al mismo tiempo, se ha logrado responder a la totalidad de preguntas propuestas en el informe.

A pesar de obtener un resultado no compatible con el resto de mediadas, las incertidumbre y la exactitud de la mayoría son aceptables y permiten hacer un análisis completo del tema a tratar.

La realización de esta práctica y las cuestiones planteadas por el informe han hecho de ella un interesante proyecto que ha supuesto diversas dificultades puesto que la teoría es más avanzada que en otras prácticas y los resultados obtenidos no han sido perfectos, lo que ha hecho de la discusión un apartado más completo, si cabe.




\chapter*{Anejos}


Se expone la tabla con los datos tomados para las regresiones lineales.\selectlanguage{english}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Datos para la Regresión}}
\begin{tabular}{cccccc}
\hline
\rowcolor[HTML]{9B9B9B} 
\multicolumn{6}{c}{\cellcolor[HTML]{9B9B9B}{\color[HTML]{000000} \textbf{REGRESIÓN}}}                                                                                                                  \\ \hline
\rowcolor[HTML]{C0C0C0} 
\textbf{$L^2 \ [m^2]$} & \textbf{$\Delta L^2 \ [m^2]$} & \textbf{$\Omega '^2 \ [rad/s]^2$} & \textbf{$\Delta \Omega '^2 \ [rad/s]^2$} & \textbf{$w_{-} \ [rad/s]$} & \textbf{$\Delta w_{-} \ [rad/s]$} \\
9,00E-02               & 2,E-04                        & 1,1027E+01                        & 4,E-03                                   & 4,2248E-02                 & 3,E-06                            \\
1,600E-01              & 3,E-04                        & 1,1489E+01                        & 5,E-03                                   & 7,2621E-02                 & 8,E-06                            \\
2,500E-01              & 5,E-04                        & 1,2051E+01                        & 7,E-03                                   & 1,1180E-01                 & 2,E-05                            \\
3,600E-01              & 7,E-04                        & 1,2702E+01                        & 8,E-03                                   & 1,5931E-01                 & 4,E-05                            \\
4,90E-01               & 1,E-03                        & 1,3480E+01                        & 8,E-03                                   & 2,1342E-01                 & 7,E-05                            \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A continuaci\selectlanguage{ngerman}ón se detallan los gráficos con las regresiones pedidas, así como con los datos recogidos directamente en el laboratorio, de los cuales proceden las tablas arriba construidas.







 \begin{thebibliography}{1}

  
    \bibitem{g} nd. {\em Guión de la práctica}. Facultad de CC. Físicas. Universidad Complutense de Madrid.
   
   \bibitem{t} John R. Taylor {\em Mecánica Clásica}. Reverté.

  

  \end{thebibliography}


\end{document}

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

