En un movimiento armónico simple, donde la única fuerza que actúa es la fuerza elástica, se obtiene la ecuación diferencial (2), luego de realizar las ecuaciones de Newton correspondientes.
\(a=\frac{^{d^2x}}{dt^2}\) (Ec.2)
Una posible solución a dicha ecuación se muestra en la ecuación (3)
\(x\left(t\right)=A\cdot\cos\left(ω\cdot t+Φ\right)+\ Xeq\) (Ec.3)
Donde A es la amplitud del movimiento, es la fase inicial, Xeq la longitud de equilibrio del movimiento, y ω es la frecuencia de oscilación.
Sin embargo, experimentalmente se observa que la amplitud de un cuerpo oscilante decrece gradualmente con el tiempo hasta que éste se detiene. En este caso se habla de un movimiento armónico amortiguado. A menudo el amortiguamiento surge del contacto del oscilador con alguna superficie, o bien de la resistencia que ofrece el fluido en el cual está inmerso. En este trabajo se estudiará este último motivo.
Figura 1. Esquema de un cuerpo sumergido colgando de un resorte
Sobre el cuerpo actúan las fuerzas : la Fuerza elástica corresponde a la fuerza ejercida por el resorte, el Peso corresponde a la interacción gravitatoria entre el objeto y el centro de la tierra, la Fuerza viscosa es una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y opuesta a ella, y el empuje es la fuerza que todo cuerpo sumergido siente cuya magnitud es igual al peso del volumen de líquido desalojado.
Al plantear las ecuaciones de Newton para dicho cuerpo, se obtiene la nueva ecuación diferencial para el movimiento amortiguado (4)
\(F=-k\cdot x-\frac{bx}{γ}\)(Ec.4)
La ecuación diferencial (4) tiene como solución a la ecuación (5)
\(X\left(t\right)=A\cdot e^{-γ\cdot t}\cdot\cos\left(ω\cdot t+Φ\right)+Xeq\)(Ec.5)
Donde A es la amplitud del movimiento, que va cambiando conforme varía el término exponencial, γ es el coeficiente de amortiguamiento y es igual a b/2m (donde b es una constante que da cuenta del grado de viscosidad del fluido), Φ es la fase inicial, y ω es la frecuencia de oscilación.