Ecuación diferencial a resolver: 

\(\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{P}{EI}v=0\)                   \(v|_{x=0}=0\)              \(v|_{x=L}=0\)
Para comenzar tenemos que proponer una solución que satisfaga nuestra ecuación diferencial.
\(V=C1\ \sin\ \lambda x+C2\ \cos\ \lambda x\)
Después tenemos que sacar la derivada de V : 
\(V'=\frac{dv}{dx}=C1\ \lambda\ \cos\ \lambda x-C2\ \ \lambda\ \sin\ \lambda x\ \ \)
\(V''=\frac{d^2v}{dx^2}=-C1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x-\ C2\ \lambda^2\ \cos\ \lambda x\)
En este paso tenemos que juntar \(V'\ y\ V''\) y agregar \(\left(\frac{P}{EI}\right)\) en la unión de estas dos derivadas. 
\(-C1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x-C2\ \lambda^2\ \cos\ \lambda x\ +\left(\frac{P}{EI}\right)\left(C1\ \sin\ \lambda x+\cos\ \lambda x\right)=0\)
\(-C1\ \lambda^{2\ }\sin\ \lambda x-C2\ \lambda^{2\ }\cos\ \lambda x+C1\left(\frac{P}{EI}\right)\ \sin\ \lambda x+C2\ \left(\frac{P}{EI}\right)\ \cos\ \lambda x=0\)
Ahora reduciendo los términos semejantes nos queda: 
\(C1\ \sin\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}-\lambda^2\right)\ +C2\ \cos\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}-\lambda^2\right)=0\)

Nota:

\(\frac{P}{EI}=\lambda^{2\ }=>\lambda=\sqrt{\frac{P}{EI}}\)
Retomando la formula anterior de \(V\) nos queda que: 
\(V=C1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}x}+C2\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}x}\)
Calculando valores de las constantes \(C1\ y\ C2\)
\(C1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)+C2\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)=0\)
Para \(v=0\ \)\(x=<\)
\(V\left(x=L\right)=C1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}L=0\)
\(\sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}L\right)=0\ \ \)
por lo tanto: 
\(\sqrt{\frac{P}{EI}}L=n\pi\)

Nota: 

Cada ves que el argumento es igual a \(n\pi\), el \(sen\ \) es \(=0\).
Entonces el resultado de esta ecuación diferencial es: 
\(\frac{P}{EI}\ L^2=n^{2\ }\pi^2\)
\(P=\frac{n^2\ \pi^2\ EI}{L^2}\) para calcular la carga critica hacemos \(n=1\)
\(Pc=\frac{\pi^{2\ }EI}{L^2}\)                          \(\ C1=\) Representa que tanto se pandea la columna.