Valor P1:
P1 =\(\frac{10}{4}\)P0
Valor P2:
P2 =\(\left(\frac{10}{4}\right)\)2 P0
Valor para P3:
P3 =\(\left(\frac{10}{4}\right)\)3 P0
Valor para P4:
P4 = \(\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\)3 P0
Valor para P5:
P5 = \(\left(\frac{10}{8}\right)\)2 \(\left(\frac{10}{4}\right)\)3 P0
Valor para P6:
P6 = \(\left(\frac{10}{8}\right)\)3\(\left(\frac{10}{4}\right)\)3 P0
Valor para P7:
Pn>=7 = \(\left(\frac{10}{4}\right)\)3\(\left(\frac{10}{8}\right)\)3\(\left(\frac{10}{12}\right)\)n-6 P0
Enseguida se suman los valores de P.
\(P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6+P>7=1\)
Sustitución de los valores de P.
\(P0+\frac{10}{4}P0+\left(\frac{10}{4}\right)^2\)\(P0+\left(\frac{10}{4}\right)^{^{ }3}P0\)\(+\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)^3P0\)\(+\left(\frac{10}{8}\right)^2\left(\frac{10}{4}\right)^3\)\(P0+\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{4}\right)^3\)\(P0+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}\)\(P0\ =\ 1\)
\(1+\frac{10}{4}+\left(\frac{10}{4}\right)^2+\left(\frac{10}{4}\right)^3+\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)^3+\)\(\left(\frac{10}{8}\right)^2\left(\frac{10}{4}\right)^3+\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{4}\right)^3\)\(+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}=1\)
Se factoriza para reducir los términos para utilizar la serie geométrica y se saca el valor de P0.
\(P0\left[69.31+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left\{1+\left(\frac{10}{12}\right)+\left(\frac{10}{12}\right)^2+...\right\}\right]=1\)
\(P0\left\{69.31+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left[\frac{1}{1-\frac{10}{12}}\right]\right\}=1\)
\(P0=\frac{1}{69.31+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left[\frac{1}{1-\frac{10}{12}}\right]}=3.96\)
El valor resultante de P0= 3.96
Conclusión
Se puede concluir que utilizando la serie geométrica en el método de colas es mucho mas sencillo de sacar su resultado mediante \(\lambda\) y \(\mu\) para llegar al resultado de P0 exacto.