\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{fullpage}
\usepackage{setspace}
\usepackage{parskip}
\usepackage{titlesec}
\usepackage[section]{placeins}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{breakcites}
\usepackage{lineno}
\usepackage{hyphenat}





\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\usepackage[colorlinks = true,
            linkcolor = blue,
            urlcolor  = blue,
            citecolor = blue,
            anchorcolor = blue]{hyperref}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\@combinedblfloats{\box\@outputbox}{\unvbox\@outputbox}{}{%
  \errmessage{\noexpand\@combinedblfloats could not be patched}%
}%
\makeatother


\usepackage[round]{natbib}
\let\cite\citep




\renewenvironment{abstract}
  {{\bfseries\noindent{\abstractname}\par\nobreak}\footnotesize}
  {\bigskip}

\titlespacing{\section}{0pt}{*3}{*1}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{*2}{*0.5}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{*1.5}{0pt}


\usepackage{authblk}


\usepackage{graphicx}
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabulary}
\usepackage{booktabs,array,multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\providecommand\citet{\cite}
\providecommand\citep{\cite}
\providecommand\citealt{\cite}
% You can conditionalize code for latexml or normal latex using this.
\newif\iflatexml\latexmlfalse
\providecommand{\tightlist}{\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}%

\AtBeginDocument{\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.PDF,.eps,.EPS,.png,.PNG,.tif,.TIF,.jpg,.JPG,.jpeg,.JPEG}}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian,english]{babel}










\begin{document}

\title{T\selectlanguage{russian}еорема(лемма) Дуба\selectlanguage{english}}



\author[1]{Vostretsov Mikhail}%
\affil[1]{Affiliation not available}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 08, 2024}


\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup








\sloppy


\selectlanguage{russian}\subsection*{Задача 8.5 (1,5
балла)}

{\label{291915}}

Докажите теорему Дуба. Пусть~\(f:\Omega\to\Omega^{\prime}\) --- измеримо.
Функция~\(g:\Omega\to\mathbb{R}\) является~\(\sigma(f)\)-измеримой тогда и
только тогда, когда для некоторой случайной величины~\(h:\Omega^{\prime}\to\mathbb{R}\)
выполнено~\(g(\omega)=h(f(\omega))\) для всех~\(\omega\in\Omega.\) ~

В англоязычной литературе
названа~\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Doob\%E2\%80\%93Dynkin_lemma}{леммой
Дуба.}

Даны измеримые пространства \((\Omega,\mathcal{F}),(\Omega^{\prime},\mathcal{G}).\)

\par\null

\subsection*{Доказательство:}

{\label{603241}}

\textless{}= Очевидно.
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_function\#Properties_of_measurable_functions}{Композиция
двух измеримых функций измерима.}~ Следовательно,~\(g\)
является~\(\sigma(f)\)-измеримой.

~

=\textgreater{} Пусть~\(g\)
является~\(\sigma(f)\)-измеримой.

Допустим, что~\(g=1_A\), где~\(A\in\mathcal\sigma(f)\) . По
определению~\(\sigma(f)\) существует борелевское
множество~\(B\subset\mathbb{R}\) такое, что~\(A=f^{-1}\left(B\right)\),
тогда~\(g=1_A=1_{f^{-1}\left(B\right)}=1_B\left(X\right)\) и можно выбрать~\(h\)
как~\(h=1_B\)~

Теперь пусть~\(g\) -- простая функция,
например,~\(g=\sum_{i=1}^{k} a_k1_{A_k}\), где~\(a_k\in\mathbb{R}\)
и~\(A_k\in\sigma(f)\) для всех~\(1\le k\le n\),
где~\(A_k\bigcap A_j=\varnothing\) для~\(k\neq j\). Тогда можно найти
борелевские множества~\(B_k\subset\mathbb{R}\) такие, что~\(A_k=f^{-1}\left(B_k\right)\)
для всех~\(1\le k\le n\) и если выбрать \(h=\sum_{i=1}^{k} a_k1_{B_k}\), то
\(g(\omega)=h(f(\omega))\).

\par\null

Наконец, пусть~\(g\ge0\). Можно найти
последовательность~\(\left\{g_k\right\}\)
простых~\(\sigma(f)\)-измеримых функций таких,
что~\(0\le g_k\le g_{k+1}\) для всех~\(k\in\mathbb{N}\)
и~\(g=\lim_{k\to\infty}g_k\). Для каждого~\(k\) можно найти
борелевскую функцию~\(h_k\) такую, что~\(g_k(\omega)=h_k(f(\omega))\)
для всех~\(k\in\mathbb{N}\). Для каждого~\(n\in\mathbb{N}\)
положим~\(m_n=\max\left\{h_k,\ 1\le k\le n\right\}\). Поскольку~\(g_n\) возрастают
для каждого~\(\omega\in\Omega\) имеем~\(h_k\left(f\left(\omega\right)\right)=g_k\left(\omega\right)\ \le\ g_n\left(\omega\right)=h_n\left(f\left(\omega\right)\right)\) для
всех~\(1\le k\le n\) таких, что~\(m_n\left(f\left(\omega\right)\right)=h_n\left(f\left(\omega\right)\right)\). По
определению~\(m_n\) возрастают, поэтому~\(h=\lim_{n\to\infty}m_n\).
Если теперь~\(\omega\in\Omega\), то \(g\left(\omega\right)=\lim_{n\to\infty}h_n\left(f\left(\omega\right)\right)=\lim_{n\to\infty}m_n\left(f\left(\omega\right)\right)=h\left(f\left(\omega\right)\right)\).

\par\null

Если же~\(g\) произвольная, то
разложим~\(g\) как~\(g\ =g^+-g^-\) и повторим процесс
описанный абзацем выше, чтобы получить необходимый результат. ~~ ~

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

