\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{fullpage}
\usepackage{setspace}
\usepackage{parskip}
\usepackage{titlesec}
\usepackage[section]{placeins}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{breakcites}
\usepackage{lineno}
\usepackage{hyphenat}





\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\usepackage[colorlinks = true,
            linkcolor = blue,
            urlcolor  = blue,
            citecolor = blue,
            anchorcolor = blue]{hyperref}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\@combinedblfloats{\box\@outputbox}{\unvbox\@outputbox}{}{%
  \errmessage{\noexpand\@combinedblfloats could not be patched}%
}%
\makeatother


\usepackage[round]{natbib}
\let\cite\citep




\renewenvironment{abstract}
  {{\bfseries\noindent{\abstractname}\par\nobreak}\footnotesize}
  {\bigskip}

\titlespacing{\section}{0pt}{*3}{*1}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{*2}{*0.5}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{*1.5}{0pt}


\usepackage{authblk}


\usepackage{graphicx}
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabulary}
\usepackage{booktabs,array,multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\providecommand\citet{\cite}
\providecommand\citep{\cite}
\providecommand\citealt{\cite}
% You can conditionalize code for latexml or normal latex using this.
\newif\iflatexml\latexmlfalse
\providecommand{\tightlist}{\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}%

\AtBeginDocument{\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.PDF,.eps,.EPS,.png,.PNG,.tif,.TIF,.jpg,.JPG,.jpeg,.JPEG}}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman,greek,english]{babel}



\usepackage{float}








\begin{document}

\title{Matlab-labb V\selectlanguage{ngerman}ärmepump\selectlanguage{english}}



\author[1]{Ylva Kloo}%
\affil[1]{Affiliation not available}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 07, 2024}


\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup








\sloppy


\selectlanguage{ngerman}\section*{Starttillstånd}

{\label{797237}}\selectlanguage{english}
\begin{table}[H]
\centering
\normalsize\begin{tabulary}{1.0\textwidth}{CCCCCCCC}
 &  &  &  &  &  &  &  \\
 &  &  &  &  &  &  &  \\
 &  & p/kPa & T/\selectlanguage{ngerman}°C & V\textsubscript{m}/dm\textsuperscript{3}mol\textsuperscript{-1}
 & \selectlanguage{greek}α/\selectlanguage{english}T\textsuperscript{-1}
 & C\textsubscript{p,m}/J K\textsuperscript{-1} mol\textsuperscript{-1}
 & Z \\
 &  & 200.7 & -10 & 10.2 & 0.46 & 85.78 & 0.94 \\
\end{tabulary}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Starttillstånd för R134a
{\label{566150}}%
}}
\end{table}\selectlanguage{ngerman}\subsection*{Temperaturen under adiabatisk
kompression}

{\label{736660}}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/VarmepumpsmatlabbTp-diagram/VarmepumpsmatlabbTp-diagram}
\caption{{Temperatur som funktion av tryck under adiabatisk kompression
{\label{280808}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

\selectlanguage{ngerman}\subsection*{Resultat för tre olika varma
temperaturer}

{\label{549873}}\selectlanguage{english}
\begin{table}[H]
\centering
\normalsize\begin{tabulary}{1.0\textwidth}{CCCCCCCCC}
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
 &  &  &  &  &  &  &  &  \\
 &  & T\textsubscript{\textbf{h}}\selectlanguage{ngerman}\textbf{/°C}
 & T\textsubscript{fin}/\selectlanguage{ngerman}°C
 & w\textsubscript{el}/kJ mol\textsuperscript{-1}
 & (q\textsubscript{2}+q\textsubscript{3})/kJ mol\textsuperscript{-1}
 & COP & COP\textsubscript{max}
 & T\textsubscript{fin,numerisk}/\selectlanguage{ngerman}°C
 \\
 &  & 20 & 22.61 & 2.16 & 18.85 & 8.72 & 9.77 & 18.12 \\
 &  & 30 & 32.88 & 2.77 & 17.96 & 6.49 & 7.58 & 26.65 \\
 &  & 40 & 42.93 & 3.33 & 16.95 & 5.1 & 6.26 & 34.83 \\
\end{tabulary}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Uppgifter för värmepumpscykeln när den verkar mellan temperaturerna
Tc=-10 °C~ och olika Th
{\label{900163}}%
}}
\end{table}\selectlanguage{ngerman}\par\null

\section*{Frågor}

{\label{393477}}\par\null

\selectlanguage{english}\textbf{1. \emph{Härled uttrycket för den teoretiskt maximala
värmefaktorn genom att ansätta att [?]S for omgivningen ska vara 0.}}

\par\null

Enligt forutsattning:

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
\Delta S_{omg}=\frac{q_{h}}{T_{h}}-\frac{q_{c}}{T_{c}}=0
\implies
\frac{q_{h}}{T_{h}}=\frac{q_{c}}{T_{c}}
\end{equation}

Eftersom~\(\Delta U\) for hela processen ar 0 har vi att

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
w+q_{c}-q_{h}=0
\end{equation}

Sammantaget ger det den tillforda energin~\(w\)~enligt

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
w=q_{h}(1-\frac{T_{c}}{T_{h}})
\end{equation}

Den nyttiga energin vi far ut till uppvarmning ar~\(q_h\),
vilket ger oss varmefaktorn \(COP\) som

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
COP=\frac{q_{h}}{w}=\frac{q_{h}}{q_{h}(1-\frac{T_{c}}{T_{h}})}=\frac{T_{h}}{T_{h}-T_{c}}
\end{equation}

\textbf{2. \emph{Rita in den ideala cykeln for angkompressionskylning i
ett TS-diagram, som alltsa har entropin pa x-axeln och temperaturen pa
y-axeln. Glom inte ange riktningen med pilar. Markera de fem
processerna. Tips: Anvand garna Wikipedia-artikeln om Vapor-compression
refrigeration.}}

\par\null\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/Varmepumpmatlabsuperfin/Varmepumpmatlabsuperfin}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Ideala cykeln för ångkompressionskylning
{\label{930598}}%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}

\par\null

\textbf{3. \emph{Skissa hur den teoretiskt optimala cykeln
(Carnot-cykeln) skulle se ut i ett TS-diagram (återigen med pilarnas
riktning enligt värmepump).}}

\par\null\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/Varmepumpmatlabcarnot/Varmepumpmatlabcarnot}
\caption{{Carnot-cykeln
{\label{363367}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

\textbf{4.} \selectlanguage{ngerman}\emph{\textbf{Härled ett analytiskt uttryck för Tfin för
fallet ideal gas och konstant Cp,m.~ Använd uttrycket för att beräkna
Tfin för minst en av punkterna i din tabell. Är det någon skillnad mot
de numeriska värdena och i så fall varför?}}

\par\null

För en ideal gas har vi att~

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
\frac{dT}{dp}=\frac{RT}{p C_{p,m}} \implies \frac{1}{T} dT=\frac{R}{C_{p,m}}\frac{1}{p}dp
\end{equation}

Vilket, för den adiabatiska kompressionen ger

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
\int_{T_{c}}^{T_{fin}}\frac{1}{T} dT=\frac{R}{C_{p,m}}\int_{p_{c}}^{p_{h}}\frac{1}{p}dp \implies \ln(\frac{T_{fin}}{T_{c}})=\frac{R}{C_{p,m}}\ln(\frac{p_{h}}{p_{c}})
\end{equation}

Vilket ger

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
T_{fin}=T_{c}  e^{\frac{R}{C_{p,m}}\ln\frac{p_{h}}{p_{c}}}=T_{c}  e^{\ln\frac{p_{h}}{p_{c}}^{\frac{R}{C_{p,m}}}}=T_{c}\frac{p_{h}}{p_{c}}^{\frac{R}{C_{p,m}}}
\end{equation}

För~\(T_h=40 \degree C\) och övriga värden enligt ovan ger
detta~~\(T_{fin}=307,9762\ K=34,8262\degree C\). Detta är samma värde som erhölls
när~\(T_{fin}\) beräknades numeriskt för det ideala
fallet.Matlabs numeriska uppskattning är alltså god.

\par\null

5. \emph{Som du kan se i figur 1 följer kompressionskurvan ganska nära
fasgränsen (temperaturökningen som gynnar gasfas kompenseras alltså
ganska väl av tryckökningen som gynnar vätskefas). Det är viktigt att
gasen inte kondenserar eftersom detta skapar en mängd tekniska problem.
\textbf{Är det några av dina beräknade värden (för ideal eller reell
gas) som är ``problematiska'' såtillvida att de leder till ett
sluttillstånd som enligt tabell 1 befinner sig i vätskefas? Vilken
modell (ideal eller reell) verkar bäst i detta hänseende?} (I praktiken
är detta ett mindre problem eftersom icke-reversibilitet yttrar sig i
form av en högre sluttemperatur och därmed troligtvis skulle garantera
att gasen hålls på rätt sida om fasgränsen även om en reversibel
kompression inte skulle göra det).}

Ja, för det ideala fallet då~ ~\(T_h=20\degree C\) understiger
temperaturen kokpunkten vid det trycket (572,1 kPa), och skulle alltså
innebära att gasen kondenserar. Den reella modellen verkar alltså
bättre, eftersom dess sluttemperatur är högre än kokpunkten, som i
verkligheten.

\par\null

\textbf{6.} \selectlanguage{greek}\emph{\textbf{Titta i gasmodell-klassfilen hur V , α och
Cp,m beräknas och svara på följande frågor:}}\selectlanguage{ngerman}

\emph{\textbf{(a) Varför används funktionen fsolve för att räkna ut
volymen, istället för ett explicit uttryck? Vad är nackdelen med
detta?}}

\par\null

I preal är volymen redan implicit definerad, så man kan använda denna
för att få fram volymen, utan att själv behöva lösa ut volymen från
uttrycket. En nackdel är att man då inte har ett explicit uttryck för
volymen, och eventuella fel med preal följer med i volymen.

\par\null

\emph{\textbf{(b) Ange vilken ekvation som fsolve löser under
volymsuträkningen, och förklara varför värdet på det andra argumentet
till fsolve är lämpligt valt.}}

\par\null

den löser för vilket~\(vv\) som det gäller att

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
\frac{RT}{vv-b}-\frac{a}{\sqrt{T}vv(vv+b)} -(\frac{RT}{V_m-b}-\frac{a}{\sqrt{T}V_m(V_m+b)})=0
\end{equation}

Det vill säga, den försöker hitta vilket~\(vv\) som ger att
p(\(vv\))=p(\(V_m\)). Då har den ju hittat
det~\(vv\)~som är (den molära) volymen i det tidigare
uttrycket för trycket.

\par\null

\selectlanguage{greek}\emph{\textbf{(c) Ange vilket uttryck som används för att beräkna α. Vad
är betydelsen av konstanten h i detta uttryck?}}\selectlanguage{ngerman}

\begin{equation}
\label{eq:claus1}
\alpha=\frac{V_{T+h}-V_{T-h}}{2hV_T}
\end{equation}

Där till exempel~\(V_{T+h}\) betecknar volymen vid
temperaturen~\(T+h\), och där~\(h=0,01\), dvs ett
litet tal. Ju mindre~\(h\) vi väljer desto exaktare bör
uppskattningen av~~\(\alpha\) bli. Tar man
bort~\(V_T\) ur uttrycket får man ungefär uttrycket för
derivatan av volymen med temperaturen, så~\(\alpha\) ger oss
volymförändringen dividerat med volymen.

\par\null

\emph{\textbf{(d) I funktionen fitCp är värmekapaciteten vid olika tryck
och temperaturen experimentella resultat hämtad från en artikel. Den är
sammanställd i matrisen data, vars kolumner kallas p, T och y. Beskriv
vad följande kodrad gör: cpmodel = fit({[}p, T{]},y,'poly22')~}}

\par\null

Den anpassar en (kvadratisk i båda led) yta till dessa värden med p på
x-axeln, T på y-axeln och y-värdena på z-axeln.

\par\null

\textbf{7.} \selectlanguage{english}\emph{\textbf{Hur varierar COP med temperaturskillnaden Th -
Tc. Verkar detta rimligt?}}

\par\null

Den minskar nar temperaturskillnaden okar. Det ar rimligt. Ju hogre den
varma temperaturen bli, desto svarare blir det att ytterligare hoja den
genom att forsoka ta varme fran den kalla reservoaren.~

\par\null

\textbf{8.} \emph{\textbf{Manga varmepumpstillverkare publicerar data
fran sina egna tester. Leta reda pa verkliga varden pa COP for nagon
varmepump uppmatta for ungefar samma temperaturskillnader som ni raknat
pa. Jamfor med era teoretiska resultat och kommentera skillnaderna. ~}}

Jag lyckas desvarre bara hitta olika varmepumpars COP for en
utomhustemperatur pa 6-7 degC (och inomhustemperatur pa 20~degC), samt SCOP,
som ger ett genomsnitt av COP under en uppvarmningssasong. Jag har dock
valt en betydligt kallare kall temperatur pa -10 degC, vilket gor det
svart att jamfora COP-vardena. Thermias varmepump Aura har ett COP-varde
pa 4,33 (med utomhustemperatur 6-7 degC~ och inomhustemperatur 20
degC)\cite{thermia}. Mitsubishis varmepump Kirigamine FH har ett
SCOP-varde pa 5,52\cite{villavrme}. En kallare kall temperatur borde
dock ge ett lagre varde pa COP, eftersom temperaturskillnaden ar storre.
COP-vardet som jag har fatt fram for varmepumpen nar den verkar mellan
-10 degC och 20 degC ar dock betydligt storre an bada dessa, ungefar 8,72. I
den process vi har raknat pa forutsatter vi dock att allting sker
``perfekt'', t.ex att kompressionen sker reversibelt, och att tekniska
problem ej forekommer. Sa ar naturligtvis inte fallet for verkliga
varmepumpar.

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\bibliographystyle{plainnat}
\bibliography{bibliography/converted_to_latex.bib%
}

\end{document}

