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  • Herramientas Matemáticas para Químicos:
    Teoría del Campo Complejo, Ecuaciones Diferenciales y Métodos Numéricos 1


    1. Notas correspondientes a la Cátedra de Cálculo Numérico y Matemáticas Especiales para la Carrera de Lic. en Química de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de La Plata (FCE–UNLP). Texto producido con LaTeX

    Prof. José Luis Vicente 1
    Dr. Matías Rafti 2


    1. Prof. Titular Dedicación Exclusiva, Investigador Superior CIC-PBA, INIFTA–FCE–UNLP, email: vicente@inifta.unlp.edu.ar, Diag. 113 y 64, CC 16 suc. 4, (1900) La Plata, República Argentina.

    2. Jefe de Trabajos Prácticos, Investigador Adjunto CONICET, INIFTA–FCE–UNLP

    Agradecimientos

    \label{agradecimientos} Aca van los agradecimientos.

    Prólogo

    \label{Prologo} Aca se escribe un pequeño prologo del libro con los alcances generales, etc.

    Introducción General

    Variable Compleja

    \label{sec:var-compl} Aca va...

    Ecuaciones Diferenciales

    \label{sec:ec-dif} Una ecuación diferencial (ED) es una expresión algebraica que vincula la(s) derivada(s) de una función incógnita con dicha función y, eventualmente con la(s) variable(s) de la(s) que dicha función depende. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel muy importante en ingeniería, física, economía y otras disciplinas.
    Las ED aparecen en muchos campos científicos y tecnológicos, siempre que se postulen o se conozcan relaciones cuantitativas entre cierta magnitud (modelada mediante una función) que varía en forma continua y sus cambios instantáneos (expresados como derivadas). Esto se encuentra bien ejemplificado en la mecánica clásica, donde le movimiento de una partícula es descripto por la posición y velocidad en función del tiempo. Las leyes de Newton permiten relacionar posición, velocidad y aceleración y las fuerzas actuantes sobre la partícula y establecer dicha relación como una ED para la posición como función desconocida del tiempo. En muchos casos esta ED puede resolverse en forma explícita, dando la ley de movimiento.
    En matemática se estudian las ED desde distintos punto de vista, la mayoría trata sobre sus soluciones, es decir funciones suficientemente derivables que reemplazadas en la ecuación la verifican. Solo las ED mas simples admiten soluciones dada en forma explícita. Muchas propiedades de las soluciones de una ED pueden determinarse sin necesidad de encontrar su forma exacta. Si no se dispone de una formula explícita para la solución, la misma puede aproximarse numéricamente empleando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos pone el acento en el análisis cuantitativo de los sistemas descriptos mediante ED, mientras que los métodos numéricos han permitido determinar soluciones con cierto grado de exactitud.

    Métodos Numéricos

    \label{sec:met-num} El estudio de las ED abarca campos de las matemáticas puras, aplicadas, física e ingeniería. Todas estas disciplinas tratan sobre las propiedades de distintos tipos de ED. La matemática pura se centra en la existencia y unicidad de las soluciones, mientras que la matemática aplicada enfatiza la justificación rigurosa de los métodos para aproximar soluciones. Las ED juegan un papel importante en el modelado de prácticamente todos los procesos físicos, técnicos, o biológicos, desde el movimiento de los cuerpos celestes o el diseño de un puente, hasta las interacciones entre neuronas. Las ED que se emplean para resolver problemas de la vida real pueden no necesariamente ser directamente resolubles, es decir, pueden no tener soluciones en forma cerrada. En su lugar, se pueden aproximar las soluciones empleando métodos numéricos.
    Los matemáticos también estudian soluciones débiles (relacionadas con la derivación débil), que son soluciones no diferenciables en todo punto. Esta extensión a menudo son necesarias cuando no existen soluciones, y también proveen soluciones con propiedades físicamente razonables, tales como son la presencia de saltos en ecuaciones de tipo hiperbólico.
    El estudio de la estabilidad de las soluciones de las ED se conoce como teoría de estabilidad. \(\int \alpha \leq \geq \Theta\)