ROUGH DRAFT authorea.com/2658
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  • Seminário Fillipe

    Abstract

    Principios Basicos

    O campo gravimétrico \(\bf {g} (\bf r)\) é um campo conservativo, isto significa então que existe um campo escalar \(U (\bf r) \) tal que \[\bf {g} (\bf r) = \bf{\nabla} U (\bf r)\] em que \(\bf r\) e o vetor posição de uma observação do campo gravimétrico e o campo escalar \(U (\bf r)\) é chamado de potencial gravitacional cuja expressão é dada por: \[U (\bf {r}) = \gamma \int \int \int_{v} \rho( \bf {r'} ) \frac {1} { ( \bf {r} - \bf {r'} ) } dv' \label{eqn:potencial_grav}\] em que \(\gamma\) é a constante gravitacional e \(\bf r'\) é o vetor posição de um elemento de volume \(dv'\) de uma massa com densidade \(\rho(\bf r')\).

    O potencial Newtoniano ou potencial da atração gravitacional \(U(\bf r)\) obedece à equação diferencial de Laplace para pontos fora das massas. Então o divergente do gradiente de \(U(\bf r)\) é: \[\bf {\nabla} \cdot \nabla {U(\bf r)} = \nabla^2 {U (\bf r)} = \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 y} + \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 z} = 0\]

    Vamos definir, de modo genérico, a segunda derivada do potencial gravitacional em relação as direções \(\alpha\) e \(\beta\) como: \[g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{\partial^2 { U (\bf r)} }{\partial \alpha \partial \beta} \;\;\;\;\; \alpha, \;\; \beta = x, \;\; y \;\; e \;\; z. \label{eqn:segunda-derivada-potencial}\] em que \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao conjunto de direções \(x\), \(y\) e \(z\) do sistema de coordenadas Cartesianas destral. Estas segundas derivadas do potencial gravitacional, \(g_{\alpha \beta}(\bf {r})\), formam a matriz dos gradientes de gravidade: \[\Gamma ( \bf {r} ) = \left[ \begin{array}{ccc} g^{xx} & g^{xy} & g^{xz}\\ g^{yx} & g^{yy} & g^{yz} \\ g^{zx} & g^{zy} & g^{zz} \end{array} \right].\] Um elemento nesta matriz é a componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade.

    Note ue \(g^{\alpha \beta}\) também representa a primeira derivada da componente \(\alpha\) do campo gravimétrico \(g^{\alpha} (\bf{r})\) em relação a direção \(\beta\), i.e.: \[g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{ \partial {g^ {\alpha} } }{\partial \beta},\] sendo que \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao conjunto de direções \(x\), \(y\) e \(z\) do sistema de coordenadas Cartesianas destral em que o eixo \(x\) aponta para o norte, o eixo \(y\) aponta para este e o eixo \(z\) aponta verticalmente para o interior da Terra.

    A unidade de medida do campo gravitacional é o mGal . Na gradiometria gravimétrica, o gradiente de gravidade é a derivada espacial do campo gravitacional, implicando em mGal por unidade de distância, geralmente metro ou quilômetro. A unidade de medida mundialmente utilizada para medidas do gradiente de gravidade é o Eötvös. Numericamente o valor de 1 Eötvös que é igual a \(10^{-9}/s^{2}\)

    Teoricamente, cada componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade deveria conter somente informações sobre a distribuição de densidade em subsuperfície. No entanto, todas as componentes estão contaminadas por um ruído aleatório ou sistemático. O ruído nas medidas das componentes \(g^{\alpha \beta} (\bf {r})\) do gradiente de gravidade pode ser devido a diferentes fatores dentre eles: 1) o mau alinhamento dos sensores de cada acelerômetro; 2) vibrações e outras variáveis do equipamento e da aeronave que podem não terem sido monitoradas e compensadas durante processamento dos dados durante ou após o vôo; e 3) outras interferências de corpos não geológicos.

    Eliminação de Ruído das medidas das componentes do gradiente de gravidade

    Se todos os acelerômetros estivessem montados em uma plataforma estável e estivessem perfeitamente alinhados, teriamos a a perfeita rotação dos acelerômetros do gradiometro de gravidade. Neste caso ideal, as medidas das componentes do gradiente de gravidade não estariam sujeitas às acelerações de primeira ordem da aeronave.

    No entanto, o mau alinhamento dos acelerômetros, diferentes fatores de escala de cada acelerômetro e outros erros não mensuráveis criam coeficientes não lineares que são ruídos nas medidas das componentes do gradiente de gravidade.

    Para solucionar esse problema as empresas de aerolevantamentos desenvolveram procedimentos em que as acelerações e ruídos da aeronave podem ser determinados e eliminados. A empresa Bell Geospace, por exemplo, desenvolveu um procedimento proprietário conhecido como High Rate Post Mission Compensation (HPMRC).

    Adicionalmente, as medidas das componentes do gradiente de gravidade são extremamente sensíveis às alterações do campo gravitacional provocado por massas não geológicas. A própria massa da aeronave precisa ser eliminada nos dados adquiridos. Este processo de eliminação do efeito da massa da aeronave das medidas das componentes do gradiente de gravidade é feito em vôos controlados em uma área conhecida como levantamento padrão. Os levantamentos de gradiometria gravimétrica são conduzidos em um padrão ortogonal que resultam em muitos pontos de cruzamento. Os dados destes pontos de cruzamento são utilizados para remover os efeitos gravitacionais da aeronave. A empresa Bell Geospace, por exemplo, desenvolveu um procedimento proprietário conhecido que é conhecido como Low Rate Post Mission Compensation (LRPM).

    Estas etapas de pré-processamento dos dados de gradiente de gravidade objetivam eliminar o ruído inerente ao equipamento e à aeronave. No entanto, outros tipos de ruídos aleatórios podem estar presentes nas medidas das componentes do gradiente de gravidade. Em geral, as empresas de aerolevantamentos eliminam estes ruídos aleatórios através da clássica filtragem do sinal no domínio da frequência. Neste procedimento, todo o sinal acima de uma determinada fequência é considerado ruído e elininado do dado. Esta procedimento pode ser feito estabelecendo-se uma única frequência para todas as medidas das componentes do gradiente de gravidade ou diferentes frequências para cada uma das medidas das componentes do gradiente de gravidade.

    Após todos estes procedimentos realizados para a eliminação do ruído nas medidas das componentes do gradiente de gravidade, há uma expectativa que medidas filtradas sejam devidas exclusivamente à distribuição de densidade na subsuperfície da Terra. Se isto é verdade, então, o dado filtrado do ruído deve obedecer a equação de Laplace. No entanto, através destes procedimentos de filtragem não há esta garantia line

    Neste trabalho propomos um novo método de filtragem do ruído nas medidas das componentes do gradiente de gravidade.

    Este novo método baseia-se no ajuste de funções harmônicas as medidas das componentes do gradiente de gravidade.

    Fisicamente, o método de filtragem do ruído que propomos efetuará uma aproximação dos sinais sem ruído das medidas das componentes do gradiente de gravidade por funções harmônicas que são ajustadas as medidas observadas das componentes do gradiente de gravidade.

    Para cada componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade será ajustado a uma função harmônica \( h^{\alpha \beta}(\bf {r}, \bf {p})\), em que \(\bf {p}\) é o vetor de parâmetros desconhecidos que descrevem a função harmônica a ser ajustada.

    Presumimos que todas as seis funções harmônicas \( h_{\alpha \beta}(\bf {r}, \bf {p})\) serão ajustadas as seis componentes \(g^{xx}, g^{yy}, g^{zz}, g^{xy}, g^{xz}, g^{yz}\), que são as segundas derivadas de uma função harmônica \( W ( \bf {r}, \bf {p} )\) que também depende dos mesmos parâmetros desconhecidos \(\bf {p}\).

    Então, o problema geofísico consiste em estimar o vetor de parâmetros \(\bf {p}\) que descreve as seis funções harmônicas \( h^{\alpha \beta}(\bf {r}, \bf {p})\), que explique as seis componentes \(g^{xx}, g^{yy}, g^{zz}, g^{xy}, g^{xz}, g^{yz}\) e que, consequentemente explicará a função harmônica \( W (\bf {r}, \bf {p})\).

    Este método de ajustar funções harmônicas presume que as funções harmônicas \( h^{\alpha \beta} ( \bf {r}, \bf {p} )\) ajustadas modelem adequadamente os sinais sem ruído das medidas das seis componentes do gradiente de gravidade.

    A suavidade dos sinais sem ruído é controlada pela ordem e grau da função harmônica.

    Note que neste método de filtragem do ruído estimamos um único vetor de parâmetros \(\bf {p}\) que deve modelar simultaneamente o sinal das medidas das seis componentes do gradiente de gravidade \(g^{xx}, g^{yy}, g^{zz}, g^{xy}, g^{xz}, g^{yz}\).

    Como as funções harmônicas \( h^{\alpha \beta}( \bf {r}, \bf {p} )\) ajustadas são as segundas derivadas de uma função harmônica \( W (\bf {r}, \bf {p})\), então fisicamente isto significa dizer que presumimos que os sinais livres de ruído das seis componentes do gradiente de gravidade são produzidos por uma mesma distribuição de densidade na subsuperfície da Terra cujo potencial gravitacional pode ser modelado pela função harmônica \( W (\bf {r}, \bf {p} )\).

    Vale ressaltar que neste método de filtragem do ruído garante que o dado filtrado obedecerá a equação de Lalace.

    Metodologia

    O problema direto

    Seja \(\bf {d}^{\alpha \beta} (\bf{r})\) um vetor N-dimensional que contém as medidas observad