Seminário Fillipe

Abstract

Principios Basicos

O campo gravimétrico \(\bf {g} (\bf r)\) é um campo conservativo, isto significa então que existe um campo escalar \(U (\bf r) \) tal que \[\bf {g} (\bf r) = \bf{\nabla} U (\bf r)\] em que \(\bf r\) e o vetor posição de uma observação do campo gravimétrico e o campo escalar \(U (\bf r)\) é chamado de potencial gravitacional cuja expressão é dada por: \[U (\bf {r}) = \gamma \int \int \int_{v} \rho( \bf {r'} ) \frac {1} { ( \bf {r} - \bf {r'} ) } dv' \label{eqn:potencial_grav}\] em que \(\gamma\) é a constante gravitacional e \(\bf r'\) é o vetor posição de um elemento de volume \(dv'\) de uma massa com densidade \(\rho(\bf r')\).

O potencial Newtoniano ou potencial da atração gravitacional \(U(\bf r)\) obedece à equação diferencial de Laplace para pontos fora das massas. Então o divergente do gradiente de \(U(\bf r)\) é: \[\bf {\nabla} \cdot \nabla {U(\bf r)} = \nabla^2 {U (\bf r)} = \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 y} + \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 z} = 0\]

Vamos definir, de modo genérico, a segunda derivada do potencial gravitacional em relação as direções \(\alpha\) e \(\beta\) como: \[g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{\partial^2 { U (\bf r)} }{\partial \alpha \partial \beta} \;\;\;\;\; \alpha, \;\; \beta = x, \;\; y \;\; e \;\; z. \label{eqn:segunda-derivada-potencial}\] em que \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao conjunto de direções \(x\), \(y\) e \(z\) do sistema de coordenadas Cartesianas destral. Estas segundas derivadas do potencial gravitacional, \(g_{\alpha \beta}(\bf {r})\), formam a matriz dos gradientes de gravidade: \[\Gamma ( \bf {r} ) = \left[ \begin{array}{ccc} g^{xx} & g^{xy} & g^{xz}\\ g^{yx} & g^{yy} & g^{yz} \\ g^{zx} & g^{zy} & g^{zz} \end{array} \right].\] Um elemento nesta matriz é a componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade.

Note ue \(g^{\alpha \beta}\) também representa a primeira derivada da componente \(\alpha\) do campo gravimétrico \(g^{\alpha} (\bf{r})\) em relação a direção \(\beta\), i.e.: \[g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{ \partial {g^ {\alpha} } }{\partial \beta},\] sendo que \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao conjunto de direções \(x\), \(y\) e \(z\) do sistema de coordenadas Cartesianas destral em que o eixo \(x\) aponta para o norte, o eixo \(y\) aponta para este e o eixo \(z\) aponta verticalmente para o interior da Terra.

A unidade de medida do campo gravitacional é o mGal . Na gradiometria gravimétrica, o gradiente de gravidade é a derivada espacial do campo gravitacional, implicando em mGal por unidade de distância, geralmente metro ou quilômetro. A unidade de medida mundialmente utilizada para medidas do gradiente de gravidade é o Eötvös. Numericamente o valor de 1 Eötvös que é igual a \(10^{-9}/s^{2}\)

Teoricamente, cada componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade deveria conter somente informações sobre a distribuição de densidade em subsuperfície. No entanto, todas as componentes estão contaminadas por um ruído aleatório ou sistemático. O ruído nas medidas das componentes \(g^{\alpha \beta} (\bf {r})\) do gradiente de gravidade pode ser devido a diferentes fatores dentre eles: 1) o mau alinhamento dos sensores de cada acelerômetro; 2) vibrações e outras variáveis do equipamento e da aeronave que podem não terem sido monitoradas e compensadas durante processamento dos dados durante ou após o vôo; e 3) outras interferências de corpos não geológicos.

Eliminação de Ruído das medidas das componentes do gradiente de gravidade

Se todos os acelerômetros estivessem montados em uma plataforma estável e estivessem perfeitamente alinhados, teriamos a a perfeita rotação dos acelerômetros do gradiometro de gravidade. Neste caso ideal, as medidas das componentes do gradiente de gravidade não estariam sujeitas às acelerações de primeira ordem da aeronave.

No entanto, o mau a