Seminário Fillipe

Abstract

Principios Basicos

O campo gravimétrico \(\bf {g} (\bf r)\) é um campo conservativo, isto significa então que existe um campo escalar \(U (\bf r) \) tal que \[\bf {g} (\bf r) = \bf{\nabla} U (\bf r)\] em que \(\bf r\) e o vetor posição de uma observação do campo gravimétrico e o campo escalar \(U (\bf r)\) é chamado de potencial gravitacional cuja expressão é dada por: \[U (\bf {r}) = \gamma \int \int \int_{v} \rho( \bf {r'} ) \frac {1} { ( \bf {r} - \bf {r'} ) } dv' \label{eqn:potencial_grav}\] em que \(\gamma\) é a constante gravitacional e \(\bf r'\) é o vetor posição de um elemento de volume \(dv'\) de uma massa com densidade \(\rho(\bf r')\).

O potencial Newtoniano ou potencial da atração gravitacional \(U(\bf r)\) obedece à equação diferencial de Laplace para pontos fora das massas. Então o divergente do gradiente de \(U(\bf r)\) é: \[\bf {\nabla} \cdot \nabla {U(\bf r)} = \nabla^2 {U (\bf r)} = \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 y} + \frac{\partial^2 {U (\bf r)} }{\partial^2 z} = 0\]

Vamos definir, de modo genérico, a segunda derivada do potencial gravitacional em relação as direções \(\alpha\) e \(\beta\) como: \[g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{\partial^2 { U (\bf r)} }{\partial \alpha \partial \beta} \;\;\;\;\; \alpha, \;\; \beta = x, \;\; y \;\; e \;\; z. \label{eqn:segunda-derivada-potencial}\] em que \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao conjunto de direções \(x\), \(y\) e \(z\) do sistema de coordenadas Cartesianas destral. Estas segundas derivadas do potencial gravitacional, \(g_{\alpha \beta}(\bf {r})\), formam a matriz dos gradientes de gravidade: \[\Gamma ( \bf {r} ) = \left[ \begin{array}{ccc} g^{xx} & g^{xy} & g^{xz}\\ g^{yx} & g^{yy} & g^{yz} \\ g^{zx} & g^{zy} & g^{zz} \end{array} \right].\] Um elemento nesta matriz é a componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade.

Note ue \(g^{\alpha \beta}\) também representa a primeira derivada da componente \(\alpha\) do campo gravimétrico \(g^{\alpha} (\bf{r})\) em relação a direção \(\beta\), i.e.: \[g^{\alpha \beta}(\bf {r}) = \frac{ \partial {g^ {\alpha} } }{\partial \beta},\] sendo que \(\alpha\) e \(\beta\) pertencem ao conjunto de direções \(x\), \(y\) e \(z\) do sistema de coordenadas Cartesianas destral em que o eixo \(x\) aponta para o norte, o eixo \(y\) aponta para este e o eixo \(z\) aponta verticalmente para o interior da Terra.

A unidade de medida do campo gravitacional é o mGal . Na gradiometria gravimétrica, o gradiente de gravidade é a derivada espacial do campo gravitacional, implicando em mGal por unidade de distância, geralmente metro ou quilômetro. A unidade de medida mundialmente utilizada para medidas do gradiente de gravidade é o Eötvös. Numericamente o valor de 1 Eötvös que é igual a \(10^{-9}/s^{2}\)

Teoricamente, cada componente \(g^{\alpha \beta}(\bf {r})\) do gradiente de gravidade deveria conter somente informações sobre a distribuição de densidade em subsuperfície. No entanto, todas as componentes estão contaminadas por um ruído aleatório ou sistemático. O ruído nas medidas das componentes \(g^{\alpha \beta} (\bf {r})\) do gradiente de gravidade pode ser devido a diferentes fatores dentre eles: 1) o mau alinhamento dos sensores de cada acelerômetro; 2) vibrações e outras variáveis do equipamento e da aeronave que podem não terem sido monitoradas e compensadas durante processamento dos dados durante ou após o vôo; e 3) outras interferências de corpos não geológicos.

Eliminação de Ruído das medidas das componentes do gradiente de gravidade

Se todos os acelerômetros estivessem montados em