III Mô hình dự báo giá
3.1. Chuyển động Brown
Chuyến động Brown (đặt tên theo nhà thực vật học Scotland Robert Brown) mô phỏng chuyến động của các hạt trong môi trường lỏng (chất lỏng hoặc khí) và cũng là mô hình toán học mô phỏng các chuyến động tương tự, thường được gọi là vật lý hạt.
Sự vận động của các thị trường chứng khoán là sản phẩm của sự vận động kinh tế xã hội của con người. Theo quan điếm của các nhà toán học, hai hiện tượng này là rất tương đồng với nhau, bởi vì chúng đều thuộc về những quy luật khoa học tự nhiên sâu sắc. Chính vì vậy chuyến động Brown thường được dùng đế mô phỏng sự dao động của thị trường chứng khoán.
Trong toán học, quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên liên tục được đặt tên theo Norbert Wiener mô phỏng chuyến động Brown với giả định tốc độ hiện tại của một hạt chất lỏng dao động ngẫu nhiên.
Chuyến động Brown hay quá trình Wiener được ký hiệu là W(t) thoả mãn các tính chất sau:
W(0) = 0
W (t)có quỹ đạo liên tục
Sự thay đổi w(t + s) -W(s) = N (0,t) với 0 < s,t
W(t + s) — W (s) độc lập với bất kỳ quá trình nào xảy ra trước thời gian s.
Trong đó N(0,t ) biếu thị phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai σ 2.
 
3.2. Công thức Ito
Có thể nói giải tích toán học là lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân. Từ cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân và tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỷ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng. Người có công lớn nhất trong việc sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên là K.Ito, nhà toán học kiệt xuất người Nhật. Nếu tích phân Riemann - Lebesgue được xây dựng theo độ đo thì tích phân Ito được xây dựng theo quá trình Wiener. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên thì phép tính tích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng cho nhiều vấn đề của vật lí, sinh học và kinh tế.
Kiyosi Ito đã có những đóng góp lớn tới sự tiến bộ khoa học toán học bằng việc đặt nền tảng của lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên (năm 1942). Ông cũng đóng góp một vai trò hàng đầu trong sự phát triển những phần này vào trong chương cốt lõi của lí thuyết xác suất hiện đại, được biết như là tích phân ngẫu nhiên.
Trong nghiên cứu của F. Black, R. Merton và M. Scholes, nhờ áp dụng lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên đã giúp Merton và Scholes nhận được giải thưởng Nobel Kinh tế năm 1997.
Công thức Ito:
Cho u(t,x) là một hàm xác định trên [0,T]×R có các đạo hàm riêng ut, ux, uxx liên tục. Cho Xt là một quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên
Khi đó quá trình Yt = u(t, Xt) cũng là một quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên là
 
Ta cũng có thể viết công thức Ito dưới dạng dễ nhớ hơn như sau
trong đó khi tính (dXt)2 ta quy ước
(dt)2 = dtdWt =0, (dWt)2 = dt.
Chứng minh chi tiết công thức Ito có thể tham khảo trong tài liệu [ xx ] Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên của thầy Đặng Hùng Thắng - trang 216
3.3. Mô hình Black-Scholes
Black-Scholes là một mô hình toán học ứng dụng để định giá một số sản phẩm tài chính mà tiêu biểu là quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình được đưa ra bởi Fischer Black và Myron Scholes trong bài báo năm 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", xuất bản trong Journal of Political Economy.
Năm 1997, ông chia sẻ giải Nobel Kinh tế với Robert C. Merton "cho một phương pháp mới để xác định giá trị phát sinh". Fischer Black, đồng tác giả với họ trong công trình được giải, đã mất vào năm 1995 và do đó không đủ điều kiện để nhận giải thưởng.
Mô hình Black-Scholes là một trong những mô hình quan trọng bậc nhất đánh dấu sự ra đời và phát triển của ngành Toán Tài Chính.
Mô hình Black-Scholes mô tả giá trị của tài sản S(t) như một quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào t như sau:
Trong đó:
r        : Tỷ lệ tăng trưởng kỳ vọng của tài sản.
σ        : Độ biến động của tài sản.
Wt     : Là chuyển động Brown.
 
Đặt
Theo phương trình Ito:
 
 
Vậy
Lấy tích phân 2 về trong từ 0 đến t ta có:
Với K=1,2,3 …
 
Với  thường được phân phối với trung bình bằng 0 và phương sai
 
Với các thời điểm  rời rạc thì:
Trong đó  là số ngẫu nhiên rời rạc theo phân phối chuẩn