la formula para la carga critica de una columna fue derivada en 1757 por Leonhard Euler el gran matemático suizo. el análisis de dulero se baso en la ecuación diferente de la curva elástica.
El \(\frac{d^2v}{dx^2}\)
el equilibrio del momento requiere que:
\(M=-Pv\)
\(EI\frac{d^2v}{dx^2}=-Pv\)
\(\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{Pv}{EI}\)
Para resolver una ecuación diferencial debemos proponer una solución que la satisfaga.
\(\frac{d^2v}{dx^2}+\left(\frac{P}{EI}\right)v=0\)
\(v=C_1\sinλx+C_2\cosλx\)
\(v'=\frac{du}{dx}=C_1λ\cosλx-C_2λ\sinλx\)
\(v''=\frac{d^2v}{dx^2}=-C_1λ^2\sinλx-C_2λ^2\cosλx\)
\(-C_1λ^2\sinλx-C_2λ^2\cosλx\left(\frac{p}{EI}\right)\left(C_1\sinλx+C_2\cosλx\right)=0\)
\(-C_1λ^2\sinλx-C_2λ^2\cosλx+C_1\left(\frac{p}{EI}\right)\sinλx+C_2\ \left(\frac{p}{EI}\right)\cosλx=0\)
\(C_1\sinλx\left(\frac{p}{EI}-λ^2\right)+C_2\cosλx\left(\frac{p}{EI}-λ^2\right)=0\)
\(v=C_1\sin\sqrt{\frac{p}{EI}x}+C_2\cos\sqrt{\frac{p}{EI}x}\)
calcular los valores para las constantes \(C_1\)\(C_2\)
\(v=0\)          \(x=0\)
\(v=0\)          \(x=L\)
\(C_1\sin\sqrt{\frac{p}{EI}}\left(0\right)+C_2\cos\sqrt{\frac{p}{EI}}\left(0\right)=0\)
\(v=o\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=L\)
\(v\left(x=L\right)=C_1\sin\sqrt{\frac{p}{EI}}L=0\)
\(\sin\left(\sqrt{\frac{p}{EI}}\right)=0\)
\(\sqrt{\frac{p}{EI}}L=nII\)
\(\frac{p}{EI}L^2=n^2II^2\)
\(P=\frac{n^2II^2EI}{L^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=1\)
\(P_{er}=\frac{II^2EI}{L^2}\)