La formula para la carga critica de una columna fue derivada en 1757 por Leonhard Euler, el gran matemático suizo. El análisis de Euler se baso en la ecuación diferencial de la curva elástica:
\(\frac{d^2u}{dx^2}\ +\ \left(\frac{p}{El}\right)\ u=0\)
Encuentre la solución a esta ecuación y aplique las siguientes condiciones para obtener
\(u^1=\frac{du}{dx}=C_1^{_{_{ }}}\ l\ \cos\ lx\ \sin\ lx\)
\(u^2=\frac{d^2u}{dx^2}=C_1\ \sin\ lx\ -C_2\ l^{2\ }\ \cos\ lx\)
Una vez que terminamos de derivar pasamos a sustituir en la ecuación original (1).
                                                 \(-C_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ l^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sin\ lx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \)
                                                  \(C_{2\ }\ l^2\ \ \cos\ lx\ \left(\frac{p}{El}\right)\ \left(C_1\ \sin\ lx\ +C_2\ \ \cos\ lx\ \ \right)\ =0\)
Se procede a eliminar paracentesis:
\(C_1\ \sin\ lx\ \left(\frac{p}{El}-\ l^2\right)\ s+\ C_2\ \cos\ \left(\frac{p}{El}\ -\ l^2\right)\ =0\)
Simplificamos la ecuación:
\(C_{1\ }\sin\ lx\ \left(\frac{p}{El}-l^2\right)\ s+C_2\ \cos\ lx\ \left(\frac{p}{El}\ -\ l^2\right)\ =0\)
Despejamos y obtenemos el siguiente resultado:
\(u=C_{1\ }\sin\ \sqrt{\frac{P}{EL}x}\ \ +\ C_{2\ }\cos\ \sqrt{\frac{p}{EL}x}\)
Ahora calculamos los valores para las constantes (2) y (3)
v = 0         x = 0     (6)
v = 0         x = L   (7)
\(C_1\ \sin\ \sqrt{\frac{p}{El}\left(0\right)\ }\ +\ C_2\ \cos\ \sqrt{\frac{p}{El}}\left(0\right)\)
v=0     x=L
\(u\left(x=L\right)\ =\ C_{1\ }\sin\sqrt{\frac{p}{El}\ L}=0\)
\(\sin\left(\sqrt{\frac{p}{El}L}\right)=0\)
los valores para las constantes de integración: 
v=0       x=0
v=0       x=L
Finalmente explique cómo obtener el siguiente resultado:  
\(P=n^2\ \frac{\pi^2El}{L^2}\)
Resolver el diferencial que se tiene en la ecuación para que para posteriormente despejar .
\(\frac{d^2u}{dx^2}\left(\frac{p}{El}\right)\ u=0\)
obtener la derivada de\(\frac{d^{2u}}{dx^2}\), prima bimitral.
\(u=C_1\ \sin\ lx\ +C_2\ \sin\ lx\)
Despejamos P
\(\sqrt{\frac{p}{El}\ }=n\pi\)
Quitamos la raíz
\(-\frac{p}{El}\ L^2=n^2\pi^2\)
Resultado
\(P=\frac{n^2\pi^2El}{L^2}\)