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\begin{document}

\title{~~~ Problemas sobre el teorema de Varignon~~~}



\author[1]{Guillermo Lopez Jaquez }%
\affil[1]{Instituto Tecnológico Superior Zacatecas Occidente}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 07, 2024}


\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup




\onehalfspacing


\selectlanguage{spanish}
\begin{abstract}
En el presente documento se pretende~ realizar algunos ejemplos, para
explicar el tema Est\selectlanguage{ngerman}ática del cuerpo rígido.%
\end{abstract}\selectlanguage{ngerman}%



\sloppy


\section*{Problema 1.}

{\label{173432}}

Si F1=\{100i-120j+75k\} lb y F2= \{-200i+250j+100k\} lb. Determine el
momento resultante producido por estas fuerzas sobre el punto O.\selectlanguage{spanish}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.84\columnwidth]{figures/F4-12/F4-12}
\caption{{~Problema 1
{\label{881223}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

~Para calcular el momento resultante, primero se hace el producto cruz
para cada una de las fuerzas, en otras palabras se calcula el momento
independiente de cada una de las fuerzas, para as\selectlanguage{ngerman}í al final sumar los
momentos y obtener el final.

1.- Se muestran las matrices, F1, F2 respectivamente
(Tabla.~{\ref{655008}})

\par\null\selectlanguage{spanish}
\begin{table}[H]
\centering
\normalsize\begin{tabulary}{1.0\textwidth}{CCCCCCCC}
 &  &  &  &  &  &  &  \\
F1 & i & j & k & F2 & i & j & k \\
 & 4 & 5 & 3 &  & 4 & 5 & 3 \\
 & 100 & -120 & 75 &  & -200 & 250 & 100 \\
\end{tabulary}
\caption{{Matriz
{\label{655008}}%
}}
\end{table}Ahora calculamos el momento para F1:

\(i\ \left(5\right)\left(75\right)-\left(-120\right)\left(3\right)-j\ \left(4\right)\left(75\right)-\ \left(100\right)\left(3\right)+k\ \left(4\right)\left(-120\right)-\left(100\right)\left(5\right)=\ 735\ i\ -980\ k\)El momento de F2 est\selectlanguage{ngerman}á dado por:

~\(i\ \left(5\right)\left(100\right)-\left(250\right)\left(3\right)-j\ \left(4\right)\left(100\right)-\left(-200\right)\left(3\right)+k\ \left(4\right)\left(250\right)-\left(-200\right)\left(5\right)=\ -250\ i-1000\ j+2000\ k\)

\par\null

\(\vec{M_0}=\vec{M_1}+\vec{M_2}\)

\(\vec{M_0}=\ 485\ i-1000\ j\ +1020\ k\)

\par\null

\section*{Problema 2.}

{\label{448195}}\selectlanguage{spanish}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/F4-14/F4-14}
\caption{{Problema 2
{\label{316090}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

Primero que nada debemos entender que para que no exista un movimiento
(giro) la suma de ambas fuerzas debe de ser 0. Y esto se expresa de la
siguiente manera:

\par\null

\(\vec{M}_A\ +\ \vec{M_B}\ =0\)

Una vez establecido esto, podemos obtener el siguiente paso,
sustituyendo sabemos que cada momento se expresa de la siguiente manera:

\(\left(\vec{r_A}\ x\ \vec{F_A}\right)\ +\left(\vec{r_B}\ x\ \vec{F_B}\right)=0\)

Pero como nos encontramos en dos dimensiones 2D sabemos que:

\(\left(r_{AX}F_{AY}-\ r_{AY}F_{AX}\right)k\ +\ \left(r_{BX}F_{BY}-\ r_{BY}F_{BX}\right)k=\ 0\)

Lo que es igual a:

\(\left(r_{AX}F_{AY}-\ r_{AY}F_{AX}\right)\ +\ \left(r_{BX}F_{BY}-\ r_{BY}F_{BX}\right)=\ 0\)

Dado que no existen distancias en y, solo en x puesto que se encuentran
dentro de la misma l\selectlanguage{ngerman}ínea, sabemos que~\(\ r_{AY}F_{AX}\ \ Y\ \ r_{BY}F_{BX}=\ 0\).

Ahora y solo debemos calcular~\(F_{AX}\), ya que es la fuerza
que no conocemos para que no existe el giro.

Conocemos los siguientes datos:

\(r_{AX\ }=9\ ft\)

\(r_{BX}=\ 6\ ft\)

\(F_{BY}=\ \left(30\ lb\right)\left(\sin\ 60°\right)\)

\(F_{AY}=-F_A\left(\frac{3}{5}\right)\)

\par\null

Entonces ya contamos con todo lo necesario para hacer los calculos.

\(r_{AX}F_{AY}\ +\ r_{BX}F_{BY}=\ 0\), sustituyendo:

\(\left(9\ ft\right)\left(-\frac{3}{5}F_A\right)+\ \left(6\ ft\right)\left(30\ lb\right)\left(\sin\ 60°\right)=0\)

Despejamos:

\(-\frac{3}{5}F_A\left(9\ ft\right)+\ \left(6\ ft\right)\left(30\ lb\right)\left(\sin\ 60°\right)=\ 0\)

\(\frac{3}{5}F_A\left(9\ ft\right)=\ \left(6\ ft\right)\left(30\ lb\right)\left(\sin\ 60°\right)\)

\par\null

\(F_A=\frac{5\left(6\ ft\right)\left(30\ lb\right)\left(\sin\ 60°\right)}{3\left(9\ ft\right)}\)

Dandonos como resultado una fuerza de:

\(F_A=\ 28.86\ lb\)

~

\par\null

\selectlanguage{spanish}
\FloatBarrier
\end{document}

