Planteamiento del problema
\(\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{P}{EI}v=0\) (1)
\(v|_{x=0}=0\)
\(v|_{x=L}=0\)
Lo primero es proponer una ecuación que contenga constantes.
\(V=C1\ \sin\ \lambda x+C2\ \cos\ \lambda x\)
En esta parte del procedimiento debemos calcular la 1era y 2da derivada ya que es lo que nos pide la formula 1:
\(V'=\frac{dv}{dx}=C1\ \lambda\ \cos\ \lambda x-C2\ \ \lambda\ \sin\ \lambda x\ \ \)
\(V''=\frac{d^2v}{dx^2}=-C1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x-\ C2\ \lambda^2\ \cos\ \lambda x\)
Después de obtener las derivadas empezamos a construir la ecuación con \(V'\ y\ V''\) y agregar \(\left(\frac{P}{EI}\right)\).
\(-C1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x-C2\ \lambda^2\ \cos\ \lambda x\ +\left(\frac{P}{EI}\right)\left(C1\ \sin\ \lambda x+\cos\ \lambda x\right)=0\)
\(-C1\ \lambda^{2\ }\sin\ \lambda x-C2\ \lambda^{2\ }\cos\ \lambda x+C1\left(\frac{P}{EI}\right)\ \sin\ \lambda x+C2\ \left(\frac{P}{EI}\right)\ \cos\ \lambda x=0\)
Ya construida la ecuación vemos que tenemos términos semejantes y lo factorizamos:
\(C1\ \sin\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}-\lambda^2\right)\ +C2\ \cos\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}-\lambda^2\right)=0\)
En esta parte del análisis debemos encontrar un valor que al sustituirlo en los paréntesis nos de 0 y se cumpla la ecuación.
\(\frac{P}{EI}=\lambda^{2\ }=>\lambda=\sqrt{\frac{P}{EI}}\)
Sustituimos el valor obtenido en \(V\):
\(V=C1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}x}+C2\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}x}\)
Ahora solo resta obtener los valores de las constantes \(C1\ y\ C2\):
\(C1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)+C2\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)=0\)
Para \(v=0\ \) y \(x=0\)
\(V\left(x=L\right)=C1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}L=0\)
\(\sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}L\right)=0\ \ \)
por lo tanto queda:
\(\sqrt{\frac{P}{EI}}L=n\pi\)