Se sabe que X,Y,Z son variables independientes entre si,  es por ello que se requiere que cada lado de la ecuación sea igual a una constante de separación que será determinada por las condiciones de contorno. Esta constante debe ser menor a cero para que la solución no se anule al evaluar en las condiciones de borde. Luego, para que la función de X solo sea igual a una función de Y y Z,  cada una de ellas debe ser igual a la constante \(-\omega^2\). Similar caso para que la función de Y sólo sea igual a una función Z deben ser cada una de ellas igual a la misma constante \(-\Omega^2\).
\(\frac{1}{X(x)}\frac{d^2X(x)}{dx^2}=-\left[\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}+\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2Z(z)}{dz^2}\right]=-\omega^2,\)
\(\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}=\omega^2-\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2Z(z)}{dz^2}=-\Omega^2\)
Luego tenemos que 
\(\frac{1}{X(x)}\frac{d^2X(x)}{dx^2}=-\omega^2\)
Multiplicando por \(X(x)\) se tiene:
\(\frac{d^2X(x)}{dx^2}=-\omega^2X(x)\)
\(\frac{d^2X(x)}{dx^2}+\omega^2X(x)=0\)
Utilizando el método de coeficientes indeterminados:
\(X''(x)+\omega^2X(x)=0\)
\(m^2+\omega^2=0\)
\(m^2=-\omega^2\ \)
\(m=\pm\sqrt{-\omega^2}\)
\(m=\pm\omega i\)
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es:
\(X\left(x\right)=e^{0x}(A_1\cos\omega x+B_1sen\omega x)\)
\(\therefore X\left(x\right)=(A_1\cos\omega x+B_1sen\omega x)\)
A continuación repitiendo el procedimiento anterior, pero esta vez para \(\frac{1}{Y(y)}\frac{d^2Y(y)}{dy^2}=-\Omega^2\) se obtiene:
\(Y(y)=(A_2\cos\Omega y+B_2sen\Omega y)\)
Finalmente repitiendo el procedimiento anterior para la ecuación  \(\omega^2-\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2Z(z)}{dz^2}=-\Omega^2\)
\(\frac{1}{Z(z)}\frac{d^2Z(z)}{dz^2}=\omega^2+\Omega^2\)
Multiplicando por \(Z(z)\) se tiene:
\(\frac{d^2Z(z)}{dz^2}=\left(\omega^2+\Omega^2\right)Z(z)\)
\(\frac{d^2Z(z)}{dz^2}-\left(\omega^2+\Omega^2\right)Z(z)=0\)
Utilizando el método de coeficientes indeterminados:
\(Z''(z)-\left(\omega^2+\Omega^2\right)Z(z)=0\)
\(m^2-\left(\omega^2+\Omega^2\right)=0\)
\(m^2=\left(\omega^2+\Omega^2\right)\)
\(m=\pm\sqrt{\left(\omega^2+\Omega^2\right)}\)
Realizando el cambio de variables \(v=\sqrt{\omega^2+\Omega^2}\)
\(m=\pm\ v\)
COMPLETAR
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es:
\(Z(z)=A_3\cosh(vz)+B_3senh(vz)\)
Borrado del trabajo: 
EDO lineales de segundo orden a partir de la separación de variables
La ecuación de X nos queda: \(\frac{d^2X}{dx^2}+\omega^2X=0\) y su solución es \(X(x)=A_1\cos(\omega x)+B_1sen(\omega x)\)
La ecuación de Y nos queda: \(\frac{d^2Y}{dy^2}+\Omega^2Y=0\) y su solución es \(Y(y)=A_2\cos\Omega y+B_2sen\Omega y\)
La ecuación de Z nos queda: \(\frac{d^2Z(z)}{dz^2}-Z(\omega^2+\Omega^2)=0\) y su solución: \(Z(z)=A_3\cosh(vz)+B_3senh(vz),\quad v=\sqrt{\omega^2+\Omega^2}\)