IS Fizyka 2015 zestaw 2

  1. Zjawisko rezonans dla oscylatora harmonicznego i oscylator harmoniczny tumiony. Podaj równania ruchy oscylatora harmonicznego z siłą wymuszjącą i postać rozwiązania tego równania. Dla oscylatora tumionego narysuj zależnosć amplitydy drgań od czasu. Dla oscylatora z siłą wymuszajcą narysuj zależnosć amplitydy drgań oscylatora od częstosci drgań uwzględniajc częstosć rezonansową.

  2. Prawo Bernoulliego i jego zastosowania. Wytłumacz dlaczego samolot unosi się w powietrzu. Podaj definicję lepkosci i współcinnika lepkosci. CZy zasada BErnouliego jest prawdziwa dla cieczy lepkich? Odpowiedź uzasadnij.

  3. Rozkład Maxwella i srednia predkosc czasteczek gazu w rownawadze termicznej. J ak oblicza sie srednia kwadratowa predkosc czasteczek gazu i jak wiaze sie ona z temperatura gazu oraz cieplem wlasciwym rpzy stalej objetosci? Podaj definicje predkosci sredniej, predkosci sredniej kwadratowej oraz predkosci najbardziej prawdopodobjen dla rozkladu Maxwella.

ad1

Oscylator harmoniczny jest teoretycznym modelem ciala drgajacego w polu sily centralnej ( \(\vec{F}=-K\vec{x}\), wartosc sily proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym znakiem ). Model oscylatora harmonicznego jest spelniony przez wiele zjawisk fizycznych:

  • wachadlo fizyczne,matematyczne

  • drgania sprezyste

  • elektron w potencjale jadra atomowego

Rownanie ruchu dla oscylatora harmonicznego w najrostsze wyprowadzeni:

\(\vec{F}=m\vec{a}\)
\(-K\vec{x}=m\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}\)
\(\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}+\frac{K}{m}\vec{x}=0\)
\(\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}+\omega^2\vec{x}=0\) tak wygloda ogolna postac rownania ruchu dla oscylatora harmonicznego.
Ogolna postac rozwiazanai \(x(t)\) dla rowniania oscylatora ma postac:

\(x(t)=Ae^{i(\omega t+\phi)}\) dla zmiennej urojonej

\(x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin((\omega t)\) dla zminnej rzeczywistej

Wartosci parametrow A,B obliczamy z tzw. warunkow brzegowych:

\(x(t)|_{t=0}=A\)
\(\frac{dx}{dt}|_{t=0}=\omega B\).

Z oscylatorem tlumionym mamy do czynienia kiedy poza sila centralna wystepuje dodatkowa sila tlumiaca proporcjonalna do wektora predkosci o przeciwnym zwrocie.

\(\vec{T}=-b\vec{v}=-b\frac{d\vec{x}}{dt}\)

Rownanie oscylatora tlumionego wyprowadza sie analogicznie:
\(\vec{F}+\vec{T}=m\vec{a}\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{K}{m}x=0\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne, II rzędu, będące dynamicznym równaniem ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego. Przyjmując oznaczenia:
\(\beta\) = \(\frac{b}{2m}\) – współczynnik tłumienia
\(\omega_{o}\) = \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) – częstość kołowa oscylatora nietłumionego
\(\omega\) = \(\sqrt{\omega_{o}^2 - \beta^2}\) – częstość drgań tłumionych
Powyższe równanie można zapisać w postaci:
\(\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\beta\frac{dx(t)}{dt}+\omega_{o}^{2}x=0\)

Ogólne rozwiązanie ma postaci:

\(x=Ae^{\gamma t}\)

gdzie A - amplituda drgań, γ będąc liczbą zespoloną spełnia równanie kwadratowe:

\(\gamma ^{2}+2\beta \gamma + \omega_{o}^{2}=0\) które ma rozwiązania:
\(\gamma_+=-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}\)
\(\gamma_-=-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}\)
Rozwiązywanie równania ma dwa pierwiastki γ+ i γ−. Równanie ruchu można przedstawić jako sumę rozwiązań

\(x(t) = Ae^{\gamma_+ t} + Be^{\gamma_- t}\)

gdzie A i B są stałymi określonymi przez warunki początkowe układu:

\(A = x(0)+\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}\)

\(B = -\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}\)

gdzie
\(x(0)\) - wychylenie początkowe
\(v(0)\) - prędkość początkowa.
Składniki funkcji x(t) są funkcjami wykładniczymi, są one oscylacyjne gdy ich wykładniki zawierają części urojone, które zachodzi gdy \(\beta^{2}-\omega_{o}^{2}\) jest mniejsze od zera.

Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia, oznaczany przez ζ (zeta), określony jako:
\(\zeta = \frac \beta {\omega_0} = \frac b {2 \sqrt{mk}}\)
Współczynnik tłumienia jest wielkością bezwymiarową.

Wartość tłumienia ζ określa zachowanie systemu. Tłumiony oscylator harmoniczny może być:

Silnie tłumiony (ζ> 1) – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według (zaniku wykładniczego) do równowagi. Im większa jest wartość tłumienia ζ tym układ powraca wolniej do równowagi.
Krytycznie tłumiony (ζ= 1) - układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji.
Tłumiony słabo (0 <ζ<1) – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu.
Nietłumiony (ζ= 0) – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej (ωo).

Przy silnym tłumieniu (ζ> 1)

Rozwiązanie równania ruchu w postać:

\(x(t)=A e^{\gamma_+ t}+Be^{\gamma_- t}\)

Wykładniki funkcji eksponencjalnych są różnymi liczbami rzeczywistymi, i dla czasu większego od zera są ujemne. Oznacza to, że przebieg jest sumą dwóch zaników wykładniczych, o różnym czasie połowicznego zaniku. Zależne od położenia i prędkości początkowej współczynniki A i B decydują o charakterze zaniku. Ze względu na to, że wykładnik w drugim członie jest bezwzględnie większy, po pewnym czasie zależnym od położenia i prędkości początkowej, będzie on znacznie mniejszy od pierwszego, wówczas można go pominąć a zanik będzie wykładniczy i określony wzorem:

\(x(t)=A e^{\gamma_+ t}\)

Starczy tego poprawiania wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Tłumienie Tam jest wszystko plus rysunki