ROUGH DRAFT authorea.com/16922
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • IS Fizyka 2015 zestaw 2

    1. Zjawisko rezonans dla oscylatora harmonicznego i oscylator harmoniczny tumiony. Podaj równania ruchy oscylatora harmonicznego z siłą wymuszjącą i postać rozwiązania tego równania. Dla oscylatora tumionego narysuj zależnosć amplitydy drgań od czasu. Dla oscylatora z siłą wymuszajcą narysuj zależnosć amplitydy drgań oscylatora od częstosci drgań uwzględniajc częstosć rezonansową.

    2. Prawo Bernoulliego i jego zastosowania. Wytłumacz dlaczego samolot unosi się w powietrzu. Podaj definicję lepkosci i współcinnika lepkosci. CZy zasada BErnouliego jest prawdziwa dla cieczy lepkich? Odpowiedź uzasadnij.

    3. Rozkład Maxwella i srednia predkosc czasteczek gazu w rownawadze termicznej. J ak oblicza sie srednia kwadratowa predkosc czasteczek gazu i jak wiaze sie ona z temperatura gazu oraz cieplem wlasciwym rpzy stalej objetosci? Podaj definicje predkosci sredniej, predkosci sredniej kwadratowej oraz predkosci najbardziej prawdopodobjen dla rozkladu Maxwella.

    ad1

    Oscylator harmoniczny jest teoretycznym modelem ciala drgajacego w polu sily centralnej ( \(\vec{F}=-K\vec{x}\), wartosc sily proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym znakiem ). Model oscylatora harmonicznego jest spelniony przez wiele zjawisk fizycznych:

    • wachadlo fizyczne,matematyczne

    • drgania sprezyste

    • elektron w potencjale jadra atomowego

    Rownanie ruchu dla oscylatora harmonicznego w najrostsze wyprowadzeni:

    \(\vec{F}=m\vec{a}\)
    \(-K\vec{x}=m\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}\)
    \(\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}+\frac{K}{m}\vec{x}=0\)
    \(\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}+\omega^2\vec{x}=0\) tak wygloda ogolna postac rownania ruchu dla oscylatora harmonicznego.
    Ogolna postac rozwiazanai \(x(t)\) dla rowniania oscylatora ma postac:

    \(x(t)=Ae^{i(\omega t+\phi)}\) dla zmiennej urojonej

    \(x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin((\omega t)\) dla zminnej rzeczywistej

    Wartosci parametrow A,B obliczamy z tzw. warunkow brzegowych:

    \(x(t)|_{t=0}=A\)
    \(\frac{dx}{dt}|_{t=0}=\omega B\).

    Z oscylatorem tlumionym mamy do czynienia kiedy poza sila centralna wystepuje dodatkowa sila tlumiaca proporcjonalna do wektora predkosci o przeciwnym zwrocie.

    \(\vec{T}=-b\vec{v}=-b\frac{d\vec{x}}{dt}\)

    Rownanie oscylatora tlumionego wyprowadza sie analogicznie:
    \(\vec{F}+\vec{T}=m\vec{a}\)
    \(\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{K}{m}x=0\)
    Jest to równanie różniczkowe zwyczajne, II rzędu, będące dynamicznym równaniem ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego. Przyjmując oznaczenia:
    \(\beta\) = \(\frac{b}{2m}\) – współczynnik tłumienia
    \(\omega_{o}\) = \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) – częstość kołowa oscylatora nietłumionego
    \(\omega\) = \(\sqrt{\omega_{o}^2 - \beta^2}\) – częstość drgań tłumionych
    Powyższe równanie można zapisać w postaci:
    \(\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\beta\frac{dx(t)}{dt}+\omega_{o}^{2}x=0\)

    Ogólne rozwiązanie ma postaci:

    \(x=Ae^{\gamma t}\)

    gdzie A - amplituda drgań, γ będąc liczbą zespoloną spełnia równanie kwadratowe:

    \(\gamma ^{2}+2\beta \gamma + \omega_{o}^{2}=0\) które ma rozwiązania:
    \(\gamma_+=-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}\)
    \(\gamma_-=-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}\)
    Rozwiązywanie równania ma dwa pierwiastki γ+ i γ−. Równanie ruchu można przedstawić jako sumę rozwiązań

    \(x(t) = Ae^{\gamma_+ t} + Be^{\gamma_- t}\)

    gdzie A i B są stałymi określonymi przez warunki początkowe układu:

    \(A = x(0)+\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}\)

    \(B = -\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}\)

    gdzie
    \(x(0)\) - wychylenie początkowe
    \(v(0)\) - prędkość początkowa.
    Składniki funkcji x(t) są funkcjami wykładniczymi, są one oscylacyjne gdy ich wykładniki zawierają części urojone, które zachodzi gdy \(\beta^{2}-\omega_{o}^{2}\) jest mniejsze od zera.

    Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia, oznaczany przez ζ (zeta), określony jako:
    \(\zeta = \frac \beta {\omega_0} = \frac b {2 \sqrt{mk}}\)
    Współczynnik tłumienia jest wielkością bezwymiarową.

    Wartość tłumienia ζ określa zachowanie systemu. Tłumiony oscylator harmoniczny może być:

    Silnie tłumiony (ζ> 1) – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według (zaniku wykładniczego) do równowagi. Im większa jest wartość tłumienia ζ tym układ powraca wolniej do równowagi.
    Krytycznie tłumiony (ζ= 1) - układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji.
    Tłumiony słabo (0 <ζ<1) – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu.
    Nietłumiony (ζ= 0) – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej (ωo).

    Przy silnym tłumieniu (ζ> 1)

    Rozwiązanie równania ruchu w postać:

    \(x(t)=A e^{\gamma_+ t}+Be^{\gamma_- t}\)

    Wykładniki funkcji eksponencjalnych są różnymi liczbami rzeczywistymi, i dla czasu większego od zera są ujemne. Oznacza to, że przebieg jest sumą dwóch zaników wykładniczych, o różnym czasie połowicznego zaniku. Zależne od położenia i prędkości początkowej współczynniki A i B decydują o charakterze zaniku. Ze względu na to, że wykładnik w drugim członie jest bezwzględnie większy, po pewnym czasie zależnym od położenia i prędkości początkowej, będzie on znacznie mniejszy od pierwszego, wówczas można go pominąć a zanik będzie wykładniczy i określony wzorem:

    \(x(t)=A e^{\gamma_+ t}\)

    Starczy tego poprawiania wikipedii: http://pl.wikipedia.org/wiki/Tłumienie Tam jest wszystko plus rysunki

    ad2

    Rownanie bernoulliego jest tu Wyjasnienei sily nasnej bazujac na prawie bernoulliego:
    Profil plata powoduje, ze powietrze ma wieksza droge do pokonania ponad platem niz pod nim. Jezeli jest spelnione rownanie bornoulliego to przy wzroscie predkosci przeplywu spada cisnienie oplywajocego gazu. Ta roznina ciscien odpowiada za powstanie sily nosnej. Prawda jest jednak inna :) Sila nosna powstaje w skotek wytworzenia sie wiru zaskrzydlowego. Wir odrywa sie od powierzchni skrzydla po uzyskaniu tak zwanej predkosci rotacji. Predkosc rotacji jest charakterystyczna dla danego profilu skrzydla i kata natarcia. Po oderwaniu sie wiru zaskrzydlowego na krawedzie splywu postaje pole o dodatniej cyrkulacji. Cyrkulacja zwieksza cisnienie pod skrzydlem a zmnijesza ponad co w konsekwencji prowadzi do uzyskani sily nosne. Dlate samolot moze latac do w pozycji odwroconej, czego nie da sie wytlumaczyc tylko ksztaltem plata i prawem bernoulliego. Podobna cyrkulacja powstaje wokol rotujacej pilki i wywoluje skreceenie toru jej lotu.
    sila nosna na wiki
    sila nosna na youtube

    ad3

    Rzważamy gaz w stanie równowagi. Jaki jest rozkład prędkości cząsteczek takiego gazu?

    Załóżmy, że w naszych warunkach dozwolony jest klasyczny opis cząsteczek gazu i zajmijmy się szczegółowiej dowolną jednoatomową jego cząsteczką. Taka cząsteczka przedstawia dla nas niewielki, wyróżniony układ znajdujący się w kontakcie termicznym ze zbiornikiem ciepła złożonym z pozostałych cząsteczek gazu i mającym temperaturę T. W przypadku, gdy można zaniedbać siły zewnętrzne, energia naszej cząsteczki jest po prostu jej energią kinetyczną.

    \(e=\frac{mv^2