Método de Aproximación de la Matriz Insumo-Producto Mediante la
Multiplicación Matricial de Hadamard [2]José Vallejo,
Andrés Villa, Carlos Coral
Resumen
La matriz insumo producto es una herramienta recurrente para el
análisis del estado de la economía y la importancia de sus sectores en
un momento dado. Por ello, es necesario disponer de información
actualizada para realizar comparaciones y pronósticos sobre dichos
estados económicos. Un problema constatado es que la información
oficial para esta herramienta no siempre es periódica ni actualizada. El
presente trabajo describe una metodología de construcción de matrices insumo-producto,
que permitire establecer una secuencia periódica, con información
pertinente, sobre los estados de la economía en momentos
diferentes. (Esto hay que completar)
1. Introducción.
La matriz insumo-producto (MIP) es una representación cuantitativa de
las relaciones intersectoriales y los encadenamientos productivos de una
economía. Una MIP permite analizar las condiciones de producción de un
sistema económico dado, durante un cierto período de tiempo. El análisis
de las MIPs fue desarrollado por el economista ruso-americano W. W.
Leontief en 1936 [1] y se ha convertido, actualmente, en un
instrumento del Sistema Nacional de Cuentas de muchos países, incluyendo
el Ecuador [2]. El análisis de las MIP’s se utiliza generalmente,
para cuantificar el impacto de eventos socio-económicos, inversiones
públicas y/o programas de desarrollo en la economía de una región o
país. En la construcción de una MIP se considera el modelo de un sistema
económico compuesto de varios sectores productivos interrelacionados. En
la matriz insumo-producto las filas representan el valor de los insumos
que cada sector de la economía aporta a si mismo y a los demás sectores,
los cuales se representan en las columnas. Obviamente, la construcción
de las MIPs es un arduo trabajo que consume mucho tiempo, ya que en su
elaboración se requieren los datos de todos los gastos e ingresos de
cada sector de actividad del sistema económico estudiado. Por esta
razón, no todos los países coleccionan la totalidad de los datos
requeridos, y la calidad de los datos que se recolectan varía en el
tiempo y de una región o sistema económico a otro. Esto sucede, a pesar
de que la Organización de las Naciones Unidas recomendó un standard para
la recolección de dichos datos a través de su Sistema de Cuentas
Nacionales [2]. Debido a la intensa labor y procesamiento
computacional que requiere la colección de datos y la preparación de
matrices de insumo-producto, el Sistema Nacional de Cuentas del Ecuador
no publica las MIPs cada año o más frecuentemente, como sería lo ideal,
sino que las publica, generalmente, varios años después del año para el
cual se coleccionaron los datos, con un retraso aproximado de 3 años.
Por ejemplo, El Banco Central del Ecuador ha calculado las MIPs para los
años 2007, 2010, 2012 y 2013, esta última publicada en el año 2016
[3]. Debido a estas discontinuidades y retrasos, la “imagen” de la
economía que se obtiene a partir de las MIP’s publicadas, constituye
sólo una representación estática, elaborada cada cierto número de años,
de todo un proceso económico continuo, como es la economía de un país.
Idealmente, para lograr tener una representación más precisa del proceso
económico de un país, es indispensable calcular las MIPs con una
frecuencia óptima estandarizada y que su publicación sea lo más pronto
posible con el fin de lograr su utilización, de ser posible, “en tiempo
real”. En este trabajo se propone un método de aproximación que
facilita la elaboración de nuevas MIP’s para el Ecuador, mediante el uso
de las Tablas de Oferta-Utilización (TOU) que se publican en el Ecuador
periódicamente [3] y de las MIPs ya conocidas, publicadas cada
cierto número de años [3].
2. Método
para el cálculo aproximado de MIP’s
De acuerdo con el Banco Central del Ecuador, ”…la matriz insumo
producto es una descripción sintética de la economía de un país y un
instrumento analítico generado a partir de la tabla oferta-utilización
de bienes y servicios (TOU)” [3]. Sin embargo, en una MIP, los
precios generalmente están expresados en precios básicos, mientras que
en las TOU los precios están expresados, comúnmente, en precios de
comprador [2]. Según el manual SCN-2008 [2], los precios básicos
son los precios que cobra el productor sin incluir los costos de
transporte y los márgenes, exceptuando los impuestos, pero sumándole las
subvenciones a los productos. Es decir, si
Pb representa los precios básicos,
Pc simboliza los precios de comprador,
tr significa las
subvenciones y T son los impuestos, entonces los
precios básicos son iguales a los precios de comprador, más las
subvenciones, menos los impuestos, o sea:
\(P_{b}=\ P_{c}+\ t_{r}-T\) (1)
Es necesario tener en cuenta que, generalmente, el valor de las
subvenciones y de los impuestos se calcula como coeficientes
porcentuales del precio de comprador. De acuerdo con lo anterior y
representando las subvenciones y los impuestos a través de los
coeficientes porcentuales del precio de consumidor la ecuación (1) se
puede escribir en la forma:
\(P_{b}=P_{c}+qP_{c}-gP_{c}=(1+q-g)P_{c}\) (2)
Donde el coeficiente \(q=\ \sum_{i=1}^{N}q_{i}\) es la suma de los
coeficientes porcentuales de las subvenciones, siendo i =
1,…, N, el número de subvenciones.
Similarmente, el coeficiente \(g=\ \sum_{j=1}^{M}g_{j}\) es la
suma de los coeficientes porcentuales de los impuestos, siendo j =
1,…, M, el número de impuestos.
De la ecuación (2) se desprende que el precio básico es proporcional al
precio de comprador, donde la suma de coeficientes (\(1+q-g)\) es el
coeficiente de proporcionalidad. Si esta suma de coeficientes se
representa con \(\propto\) , es decir, \(\propto\ =1+q-g\) , la
ecuación (2) se puede escribir en la forma:
\(P_b\ =\ \alpha\ P_c\) (3)
De lo anterior se puede observar que, si no hay ni subvenciones ni impuestos, o el
porcentaje total de las subvenciones iguala al porcentaje total de los
impuestos, el precio básico es igual al precio de comprador ( \(\alpha\ =\ 1\) ) ; si no hay impuestos y sólo hay subvenciones, o el porcentaje total de las subvenciones es mayor que el porcentaje total de
los impuestos, el precio básico es mayor que el precio de comprador ( \(\alpha\ >\ 1\)) ; si no hay subvenciones y sólo hay impuestos, o el porcentaje total de las subvenciones es menor que el porcentaje total de
los impuestos, el precio básico es menor que el precio de comprador ( \(\alpha\ <\ 1\)).
Consideremos ahora una matriz insumo-producto (MIP) M y una
tabla oferta-demanda (TOU) T. De acuerdo con lo expuesto en los párrafos anteriores se puede deducir que el valor del elemento \(m_{11}\) correspondiente a la fila 1 y la columna 1 de la MIP M (expresada en precios básicos) es proporcional al valor del elemento T (expresada en precios de comprador). Dicho de otra manera:
\(m_{11}=\ \propto_{11}t_{11}\) (4)
Donde \(\propto_{11}\) es el coeficiente de proporcionalidad que engloba
las subvenciones e impuestos del correspondiente sector de la economía
ubicado en la fila 1 y la columna 1 de la TOU T.
Razonando de igual manera se puede encontrar los valores de cada uno del
resto de elementos de la matriz M, ubicados en la fila i
y en la columna j, es decir:
\(m_{\text{ij}}=\ \propto_{\text{ij}}t_{\text{ij}}\) (5)
De aquí se desprende que la matriz insumo-producto M se puede
obtener como la matriz cuyos elementos son el resultado de multiplicar
término a término los elementos de las matrices α y
T; o sea:
M = α ○T (6)
Dicho de otra manera, la MIP se puede obtener como el producto Hadamard
[9] de dos matrices: una matriz α cuyos elementos son los
coeficientes de proporcionalidad \(\propto_{\text{ij}}\) y la matriz T cuyos elementos representan la TOU.
De acuerdo con lo anterior, si se conoce por lo menos una matriz
insumo-producto, con el método expuesto arriba se puede calcular los
coeficientes de proporcionalidad entre los elementos de dicha MIP y los
elementos de la TOU, es decir, los elementos \(\propto_{\text{ij}}\) de
la matriz α. Una vez obtenidos dichos valores, éstos pueden ser
utilizados para aproximar la MIP por medio de la fórmula 6, usando las
TOU correspondientes a años anteriores o posteriores al año para el cual
fue calculada la MIP. Obviamente, una mejor aproximación se puede lograr
si se conoce más de una MIP. En este caso, para cada MIP se calculan los
coeficientes \(\propto_{\text{ij}}\) y luego se obtienen los promedios
de dichos coeficientes, los cuales conforman los elementos respectivos
de la matriz α. ( α-promedio ). Con esta matriz de coeficientes de
proporcionalidad se puede aproximar la MIP por medio de la fórmula 6,
para cualquier año en que se conozca la TOU. A continuación se describen los resultados.
3. Ejemplo: Aplicación al caso ecuatoriano (lo que ya se tiene)
Este método se aplicó para aproximar las matrices insumo-producto del Ecuador correspondientes a los años 2008, 2009 y 2011, para los cuales no se han reportado dichas matrices, a pesar de conocerse las respectivas TOU.
4. Análisis de resultados y Discusión
5. Conclusiones
[1] Leontief, W. W. (1986). Input-output economics. Oxford
University Press on Demand.
[2]
https://unstats.un.org/unsd/nationalaccount/sna2008.asp
[3]
https://www.bce.fin.ec/index.php/component/k2/item/763
[4]
[5]
[6]
[7]
[9]
Styan G.P.H, Hadamard Products and Multivariate Statistical analysis,
Linear Algebra and its Applications, V6, pp. 217-240, 1973.